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第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测1.任意角的概念、弧度制了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.无1.三角函数的定义； 2.扇形的面积、弧长及圆心角；3.在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标4.备考重点： (1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.2.三角函数的定义理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.2018年浙江卷18【知识清单】1象限角及终边相同的角1任意角、角的分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成k360(kZ)2.弧度制：1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关3.弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度2三角函数的定义1.任意角的三角函数定义： 设是一个任意角，角的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin y，cos x，tan ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数2 三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_，sin_)，即P(cos_，sin_)，其中cos OM，sin MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线3. 扇形的弧长及面积公式弧长公式：l|r，扇形面积公式：S扇形lr|r2.【重点难点突破】考点1 象限角及终边相同的角【1-1】已知角45，(1)在7200范围内找出所有与角终边相同的角；(2)设集合，判断两集合的关系【答案】（1）675或315.(2).【1-2】终边在直线yx上的角的集合为_【答案】|k，kZ【解析】终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ【1-3】若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限.【解析】角是第二象限角， ，（1）， 角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上（2），当时， ，的终边在第一象限当时，的终边在第三象限综上所述，的终边在第一象限或第三象限【领悟技法】1.对与角终边相同的角的一般形式k360(kZ)的理解;(1)kZ;(2)任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角3.已知角的终边位置，确定形如k，等形式的角终边的方法：先表示角的范围，再写出k、等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置【触类旁通】【变式一】【浙江省杭州第二中学三角函数】若是第三象限的角, 则是 （ ）A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角 C. 第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角【答案】B【变式二】【浙江省东阳中学3月月考】已知且，则角的终边所在的象限是A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.考点2 三角函数的定义【2-1】【浙江省台州中学期中】已知角的终边过点,且，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用角的终边过点，结合，判断所在象限，利用三角函数的定义，求出的值即可.详解：由题意可知，是第三象限角，可得，即，解得，故选B. 【2-2】【浙江省嘉兴市第一中学期中】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据三角函数的定义求解即可详解：由三角函数的定义可得故选B【2-3】【福建省福州市期末】如图，在直角坐标系中，射线交单位圆于点，若，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：直接由三角函数的定义得到结果即可.详解：根据三角函数的定义得到点的坐标为：.故答案为：A.【2-4】已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值为.【领悟技法】1.已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解2.已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值【触类旁通】【变式一】已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3【答案】A【解析】cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.故选A.【变式二】已知角的终边在射线上，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛：（1）本题主要考查直线的斜率和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在中，存在着“知一求二”的解题规律，即只要知道了其中一个，就可以求出另外两个.考点3 扇形的弧长及面积公式【3-1】【浙江省诸暨中学2017-2018学年第二阶段】已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】设扇形的半径为，弧长为 ，则 解得 或 故选C【3-2】【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角，弦长，则弧长_ 【答案】【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为rcm，由sin60=，得r=4cm，l=4= cm.【领悟技法】(1)弧度制下l|r，Slr，此时为弧度在角度制下，弧长l，扇形面积S，此时n为角度，它们之间有着必然的联系(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形【触类旁通】【变式一】【浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题】若扇形的面积为,半径为1，则扇形的圆心角为 （）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设扇形的圆心角为，则扇形的面积为，半径为1， 故选B【变式二】【浙江省9+1高中联盟期中联考】如图，以正方形中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则的弧度数大小为_.【答案】；【解析】设正方形的边长为，由已知可得 .【易错试题常警惕】易错典例：已知角的终边过点,求角的的正弦值、余弦值.易错分析：学生在做题时容易遗忘的情况正确解析：当时，；当时，温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【2018年5月3日 三角函数线每日一题】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）；（2）【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】（1）（，），作出角的终边如图所示，交单位圆于点P，作PMx轴于M，则有向线段MP=sin，有向线段OM=cos，设过A（1，0）垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT=tan，综上所述，图（1）中的有向线段MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线；（2）（，），在第三象限内作出角的终边如图所示，交单位圆于点P，用类似（1）的方法作图，可得图（2）中的有向线段MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线
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