资源描述
平面向量(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为 (B)A.2e1+3e2B.3e1+2e2C.3e1-2e2D.-3e1-3e22.已知向量a=(1,x2),b=(x,8),若ab,则实数x的值为 (A)A.2B.-2C.2D.03.已知非零向量m,n的夹角为,且n(-2m+n),则= (B)A.2B.1C.D.4.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是 (D)A.ab=2B.abC.|a|=|b|D.b(a+b)5.已知向量a=(,1),b=(+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数的值为 (C)A.1B.2C.-1D.-2 6.已知A,B,C是锐角ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则p与q的夹角是 (A)A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定7.在AOB中,G为AB边上一点,OG是AOB的平分线,且=+m(mR),则= (C)A. B.1C.D.28.若非零向量a,b的夹角为锐角,且=cos ,则称a被b“同余”.已知b被a“同余”,则向量a-b在向量a上的投影是 (A)9.已知正方形ABCD的边长为2,对角线相交于点O,P是线段BC上一点,则的最小值为 (C)A.-2B.- C.- D.210.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)b,c(a+b),则c等于(D)A.B.C.D.11.已知O为ABC内一点,满足4=+2,则AOB与AOC的面积之比为 (D)A.11 B.12C.13D.2112.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=+,0,+),则点P的轨迹经过ABC的 (A)A.外心B.内心C.重心D.垂心二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知平面向量a与b的夹角等于,如果|a|=4,|b|=,那么|2a-b|=.14.已知a=(2sin 13,2sin 77),|a-b|=1,a与a-b的夹角为,则ab=3.15.若向量a,b夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为.16.已知|=1,|=m,AOB=,点C在AOB内且=0.若=2+(0),则m=三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)当m=8时,将用和表示.(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.解:(1)当m=8时,=(8,3).设=x+y,则(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x).所以解得即=+.(2)因为A,B,C三点能构成三角形,所以,不共线.又=(1,1),=(m-2,4),所以14-1(m-2)0,解得m6.18.(本小题满分12分)已知|a|=3,b=(1,).(1)若a,b共线且方向相同,求a的坐标.(2)若a与b不共线,k为何值时,a+kb与a-kb互相垂直?解:(1)设a=(x,y),因为|a|=3,b=(1,),且a与b共线,所以解得或又因为a,b方向相同,所以a的坐标为(,).(2)因为a+kb与a-kb互相垂直,所以(a+kb)(a-kb)=a2-k2b2=|a|2-k2|b|2=0.由已知|a|=3,b=(1,),所以|b|=.所以9-3k2=0,解得k=.所以当k=时,a+kb与a-kb互相垂直.19.(本小题满分12分)在边长为3的正三角形ABC中,设=2,=2.(1)用向量,表示向量,并求的模.(2)求的值.(3)求与的夹角的大小.解:(1)因为=2,=2,所以=+=+(-)=+.又=|cos A=33=.故|=.(2)=-+,所以=-+=-32-+32=-.(3)|=,所以cos =-,所以与的夹角为120.20.(本小题满分12分)已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:(1)BECF.(2)AP=AB.解:(1)如图,建立直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).=-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1).因为=-1(-2)+2(-1)=0,所以,即BECF.(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).因为,所以-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由,得y=-2x+4,两式联立得:x=,y=,即P.所以=+=4=,所以|=|,即AP=AB.21.(本小题满分12分)已知向量a=(1,2),b=(cos ,sin ).设m=a+tb(tR).(1)若=,求当|m|取最小值时实数t的值.(2)若ab,问:是否存在实数t,使得向量a-b和向量m的夹角为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.解:(1)因为=,所以b=.所以m=a+tb=.所以|m|=,所以当t=-时,|m|取到最小值,最小值为.(2)存在满足题意的实数t.当向量a-b和向量m的夹角为时,则有cos =.又ab,所以(a-b)(a+tb)=a2+(t-1)ab-tb2=5-t,|a-b|=,|a+tb|=.则有=,且t5,整理得t2+5t-5=0,解得t=.所以存在t=满足条件.22.(本小题满分12分)如图,在四边形ABCD中,AD=4,AB=2.(1)若ABC为等边三角形,且ADBC,E是CD的中点,求.(2)若AC=AB,cos CAB=,=,求|.解:(1)因为ABC为等边三角形,且ADBC,所以DAB=120.又AD=2AB,所以AD=2BC.因为E是CD的中点,所以=(+)=(+)=(+)=+.又=-,所以=(-)=-=16-4-42=11.(2)因为AB=AC,AB=2,所以AC=2.因为=,所以(-)=.所以-=.又=|cos CAB=4=,所以=+=.所以|2=|-|2=+-2=4+16-2=.即|=.
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