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第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第9讲A组基础关1(2018广西南宁模拟)设随机变量XN(5，2)，若P(X10a)0.4，则P(Xa)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2答案A解析因为随机变量XN(5，2)，所以P(X5)P(X5)因为P(X10a)0.4，所以P(Xa)1P(Xa)10.40.6.故选A.2已知随机变量XY8，若XB(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A6和2.4 B2和2.4C2和5.6 D6和5.6答案B解析由已知随机变量XY8，所以Y8X.因此，求得E(Y)8E(X)8100.62，D(Y)(1)2D(X)100.60.42.4.故选B.3(2018浙江嘉兴适应性训练)随机变量X的分布列如下表，且E(X)2，则D(2X3)()A2 B3 C4 D5答案C解析p1，E(X)02a2a3，D(X)(02)2(22)2(32)21.D(2X3)22D(X)4.4(2018 潍坊模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度服从正态分布(100，2)(0)，若在(80,120)内的概率为0.7，则他的速度超过120的概率为()A0.05 B0.1 C0.15 D0.2答案C解析由题意可得，100，且P(80120)0.7，则P(80或120)1P(80120)10.70.3，P(120)P(80或120)0.15.则他的速度超过120的概率为0.15.5有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用表示取到次品的件数，则E()等于()A. B. C. D1答案A解析服从超几何分布P(x)(x0,1,2)，则P(0)，P(1)，P(2).故E()012.故选A.6某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立记为该生取得A等级的课程数，其分布列如下表所示，则数学期望E()的值为()0123PabA. B. C. D1答案C解析学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，有两门取得A等级有以下三种情况：政、史；政、地；地、史，P(2).根据分布列的性质可得，P(1)1P(0)P(2)P(3)1.E()0123，故选C.7已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中记随机变量“|ab|的取值”，则的数学期望E()为()A. B. C. D.答案A解析由于对称轴在y轴左侧，故0，故a，b同号，基本事件有3372126，的可能取值有0,1,2三种P(0)，P(1)，P(2)，故期望值为012，故选A.8甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量，其分布列分别为：0123P0.40.30.20.1012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_答案乙解析甲、乙的均值分别为E()00.410.320.230.11，E()00.310.520.20.9，所以E()E()，故乙的技术较好9设平面上的动点P(1，y)的纵坐标y等可能地取2，0，2，用表示点P到坐标原点的距离，则随机变量的数学期望E()_.答案解析由题意，随机变量的值分别为3,2,1，则随机变量的分布列为123P所以随机变量的数学期望E()123.10一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了设放对的个数为，则的期望值为_答案1解析将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数可取的值有0,1,2,4.其中，P(0)，P(1)，P(2)，P(4)，所以E()01241.B组能力关1(2018浙江高考)设0p1，随机变量的分布列是则当p在(0,1)内增大时，()AD()减小 BD()增大CD()先减小后增大 DD()先增大后减小答案D解析由分布列可知E()012p，所以方差D()222p2p，所以D()是关于p的二次函数，开口向下，所以D()先增大后减小2(2018潍坊二模)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终保费基准保费(1与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如下表：为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量20101038202若以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为()Aa元 B0.958a元 C0.957a元 D0.956a元答案D解析设X为一辆该品牌车在第四年续保时的费用，由题意可知X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.由统计数据可知P(X0.9a)0.2，P(X0.8a)0.1，P(X0.7a)0.1，P(Xa)0.38，P(X1.1a)0.2，P(X1.3a)0.02.所以X的分布列为X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP0.20.10.10.380.20.02E(X)0.9a0.20.8a0.10.7a0.1a0.381.1a0.21.3a0.020.956a(元)3(2018吉林三模)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布N(110,102)，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩90110为事件A，记该同学的成绩80100为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)_.(结果用分数表示)附：X满足：P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(3X3)0.9974.答案解析由题意，P(A)0.4772，P(B)(0.99740.6826)0.1574，P(AB)(0.95440.6826)0.1359.P(B|A).4(2018惠州二模)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种其中某班级学生背诵正确的概率p，记该班级完成n首背诵后的总得分为Sn.(1)求S620且Si0(i1,2,3)的概率；(2)记|S5|，求的分布列及数学期望解(1)当S620时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首由Si0(i1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首则所求的概率P2C22C2.(2)由题意知|S5|的所有可能的取值为10,30,50，又p，P(10)C32C23，P(30)C41C14，P(50)C50C05，的分布列为103050PE()103050.C组素养关1(2017全国名校名师原创联考)汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105(1)从出租天数为3天的汽车(仅限A，B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(3)试写出A，B两种车型的出租天数的分布列及均值；如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由解(1)这辆汽车是A型车的概率约为P0.6，故这辆汽车是A型车的概率为0.6.(2)设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j1,2,3，7，则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P(A1B3A2B2A3B1)P(A1B3)P(A2B2)P(A3B1)P(A1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1)，故该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为.(3)设X为A型车出租的天数，则X的分布列为X1234567P0.050.100.300.350.150.030.02设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为X1234567P0.140.200.200.160.150.100.05E(X)10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.023.62，E(Y)10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.053.48.一辆A类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.48天，故选择A类型的出租车更加合理2(2018安徽阜阳月考)从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率；(2)假设该市高一学生的体重X服从正态分布N(57，2)利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于5457 kg之间的概率；从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于5457 kg之间的人数为Y，利用(1)的结论，求Y的分布列及E(Y)解(1)这400名学生中，体重超过60 kg的频率为(0.040.01)5，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率为.(2)XN(57，2)，由(1)知P(X60)，P(X54)，P(54X60)12，P(54X57)，即高一某个学生体重介于5457 kg之间的概率是.因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验，其中体重介于5457 kg之间的人数YB，P(Yi)Ci3i，i0,1,2,3.Y的分布列为Y0123PE(Y)3.
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