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第六讲 导数的应用（二）1(2018山西八校联考)已知函数f(x)x1aln x(aR)，g(x).(1)当a2时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)若a0，且对任意x1，x2(0,1，都有|f(x1)f(x2)|4|g(x1)g(x2)|，求实数a的取值范围解析：(1)当a2时，f(x)x12ln x，f(x)1，f(1)0，切线的斜率kf(1)3，故曲线yf(x)在x1处的切线方程为3xy30.(2)对x(0,1，当a0，f(x)在(0,1上单调递增，易知g(x)在(0,1上单调递减，不妨设x1，x2(0,1，且x1x2，f(x1)g(x2)，f(x2)f(x1)f(x2).令h(x)f(x)，则当x1h(x2)，h(x)在(0,1上单调递减，h(x)10在(0,1上恒成立，x2ax40在(0,1上恒成立，等价于ax在(0,1上恒成立，只需a(x)max.yx在(0,1上单调递增，ymax3，3a0.(1)求a的取值范围；(2)若b0，试证明ln 0，所以ax10，即x，所以1，即a1.故a的取值范围为1，)(2)证明：因为b0，a1，所以1，又f(x)ln x在(1，)上是增函数，所以ff(l)，即ln 0，化简得ln ，ln 等价于ln ln 0，令g(x)ln(1x)x(x(0，)，则g(x)10，所以函数g(x)在(0，)上为减函数，所以gln ln g(0)0，即ln .综上，ln .3(2018石家庄模拟)已知函数f(x)x(ln xax)(aR) .(1)若a1，求函数f(x)的图象在点(1，f(1) 处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1.解析：(1)由已知得，f(x)x(ln xx)，当x1时，f(x)1， f(x)ln x12x，当x1时，f(x)1，所以所求切线方程为y1(x1)，即xy0.(2)证明：由已知条件可得f(x)ln x12ax有两个不同的零点，且两零点的左、右两侧附近的函数值符号相反，令f(x)h(x), 则h(x)2a(x0)，若a0，则h(x)0，h(x)单调递增，f(x)不可能有两个零点；若a0，令h(x)0得x，可知h(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，令f()0，解得0a，此时，f()，f()2ln a10，所以当0a0，所以0x11f(1)a.4(2018南宁二中、柳州一中联考)已知函数f(x)ln xax2(2a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)的两个零点分别是x1，x2，求证：f() 0，则f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，若x(0，)，则f(x)0，若x(，)，则f(x)0，且f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，不妨设0x1x2，f()x1x2，故要证f()即可构造函数F(x)f(x)f(x)，x(0，)，F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)，x(0，)，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递增，F(x)F()f()f()0，即f(x)f(x)，x(0，)又x1，x2是函数f(x)的两个零点且0x1x2，f(x1)f(x2)x1，x1x2，得证.
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