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2.3数学归纳法1了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题2理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言结构数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当nk(kN，且kn0)时命题成立的前提下，推出当n_时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”运用数学归纳法证明有关命题时应注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可；(2)在第一步中，n的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取nn0，n01等)，证明应视具体情况而定；(3)第二步中，证明nk1时命题成立，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；(4)证明nk1时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当nk1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性【做一做】对于不等式n1(nN)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立上述证法()A过程全部正确Bn1时验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确1利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项？剖析：(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步，即nk1时命题为什么成立？nk1时命题成立是利用假设nk时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则nk1时命题成立也成假设了，命题并没有得到证明(2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析2运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？剖析：(1)对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1的关系时，项数发生什么变化被弄错(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了(3)关键步骤含糊不清，“假设nk时结论成立，利用此假设证明nk1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题中最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性题型一 用数学归纳法证明恒等式【例题1】用数学归纳法证明1.分析：左边式子的特点为：各项分母依次为1,2，3，2n，右边式子的特点为：分母由n1开始，依次增大1，一直到2n，共n项反思：理解等式的特点：在等式左边，当n取一个值时，对应两项，即；在等式右边，当n取一个值时，对应一项无论n取何值，应保证等式左边有2n项，而等式右边有n项，然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明题型二 用数学归纳法证明不等式【例题2】已知a0，b0，n1，nN，用数学归纳法证明：n.反思：应用数学归纳法证明不等式时，往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设，再应用放缩法或其他证明不等式的方法证得nk1时命题成立题型三 归纳猜想证明【例题3】某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示证明这个数列的通项公式可用数学归纳法反思：先计算出一个数列的前几项，用不完全归纳法猜想得到通项公式，再用数学归纳法给予证明，这是解数列问题的常见思路题型四 易错辨析易错点：在应用数学归纳法证明问题时两步缺一不可，且在证明由nk到nk1命题成立时必须用上归纳假设，否则证明过程就是错误的【例题4】用数学归纳法证明：.错证：(1)当n1时，左边，右边，等式成立(2)假设当nk时等式成立，那么当nk1时，直接使用裂项相减法求得，即当nk1时等式成立由(1)和(2)，可知等式对一切nN都成立1用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)，从“nk到nk1”左端需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C D2平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为()Af(k)k Bf(k)1Cf(k)k1 Dkf(k)3利用数学归纳法证明1(nN，且n2)时，第二步由nk到nk1时不等式左端的变化是()A增加了这一项B增加了和两项C增加了和两项，同时减少了这一项D以上都不对4用数学归纳法证明“若f(n)1，则nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nN，且n2)”时，第一步要证的式子是_5在数列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为_，由此猜想Sn_.答案：基础知识梳理k1【做一做】D因为从nk到nk1的证明过程中没有用到归纳假设，故从nk到nk1的推理不正确典型例题领悟【例题1】证明：(1)当n1时，左边1右边，等式成立(2)假设nk时等式成立，即1.则当nk1时，左边1右边当nk1时等式也成立由(1)和(2)，知等式对任意nN都成立【例题2】证明：(1)当n2时，左边，右边()2，左边右边20，不等式成立(2)假设当nk(kN，k1)时，不等式成立，即k，因为a0，b0，k1，kN，所以(ak1bk1)(akbabk)(ab)(akbk)0，于是ak1bk1akbabk.当nk1时，k1k，当nk1时，不等式也成立由(1)和(2)，知对于a0，b0，n1，nN，不等式n恒成立【例题3】解：(1)已知a11，由题意，得a1a222，a222.a1a2a332，a3.同理，可得a4，a5.因此该数列的前五项为1,4，.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为an下面用数学归纳法证明当n2时，an.当n2时，a222，等式成立假设当nk(k2)时，结论成立，即ak.a1a2ak1(k1)2，a1a2ak1akak1(k1)2，ak1.当nk1时，结论也成立根据和，可知当n2时，这个数列的通项公式是an.an【例题4】错因分析：由nk到nk1时等式的证明没有用归纳假设，是典型的套用数学归纳法的一种伪证正确证法：(1)当n1时，左边，右边，等式成立(2)假设当nk时，成立那么当nk1时，当nk1时，等式成立由(1)和(2)，可得对一切nN等式都成立随堂练习巩固1Bnk时，左边(k1)(k2)(kk)，而nk1时，左边(k1)1(k1)2(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(kk)(2k1)2A第k1条直线与原来k条直线相交，最多有k个交点3C不等式左端共有n1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当nk时，左端为；当nk1时，左端为，对比两式，可得结论42f(1)2f(2)起点n02，观察等式左边最后一项，将n2代入即可5，由题意，得2Sn1Sn2S1，且S1a11，令式子中的n分别取1,2,3，可得S2，S3，S4，从而猜想Sn.
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