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第1课时离散型随机变量及其分布列基础达标(水平一)1.给出下列随机变量:抛掷5枚硬币,正面向上的硬币个数为X;某网站中歌曲爱我中华一天内被点击的次数为X;某公交车每15分钟一班,某人在站台等该公交车的时间为X分钟;射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射手在一次射击中的得分.其中X是离散型随机变量的是().A.B. C. D.【解析】中的随机变量X的取值可以按一定的次序一一列出,故它们都是离散型随机变量;中的X可以取区间0,15内的一切值,无法按一定次序一一列出,故不是离散型随机变量.【答案】B2.下列表中能成为随机变量X的分布列的是().A.X-104P0.10.30.5B.X201720182019P0.40.7-0.1C.X201720182019P0.30.40.3D.X1-23P0.30.40.5【解析】选项A,D不满足分布列的基本性质p1+p2+pi+pn=1,选项B不满足分布列的基本性质pi0,故选C.【答案】C3.已知随机变量X的分布列如下:X12345678910P23232233234235236237238239m则P(X=10)=().A.239B.2310C.139D.1310【解析】由离散型随机变量的分布列的性质可知23+232+233+239+m=1,m=1-23+232+233+239=1-2131-1391-13=139=139. 【答案】C4.已知随机变量的分布列如下表,且m+2n=1.2,则m-n2的值为().1234P0.1mn0.1A.-0.2B.0.2C.0.1D.-0.1【解析】由离散型随机变量分布列的性质可得m+n+0.2=1,又m+2n=1.2,解得m=n=0.4,所以m-n2=0.2.【答案】B5.由于电脑故障,随机变量X的分布列中部分数据丢失,以空格代替,其表如下:X123456P0.200.100.50.100.10.20根据该表可知X取奇数值时的概率为.【解析】由概率和为1知,最后一位数字和必为零,P(X=5)=0.15,从而P(X=3)=0.25.P(X为奇数)=0.20+0.25+0.15=0.60.【答案】0.606.设随机变量只可能取5,6,7,16这12个值,且取每个值的概率都相同,则P(8)=,P(614)=.【解析】由题意可知取每个值的概率都为112,故P(8)=1129=34,P(614)=1128=23.【答案】34237.下面的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数Y的分布列.【解析】当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11;乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有44=16种可能的结果,这两名同学植树总棵树Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=216=18.同理可得P(Y=18)=14;P(Y=19)=14;P(Y=20)=14;P(Y=21)=18.所以随机变量Y的分布列为Y1718192021P1814141418拓展提升(水平二)8.某袋中装有大小相同的10个红球,5个黑球.每次随机抽取1个球,若取到黑球,则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为().A.X=4B.X=5C.X=6D.X4【解析】第一次取到黑球,则放回1个球;第二次取到黑球,则放回2个球共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.【答案】C9.设实数xR,记随机变量=1,x(0,+),0,x=0,-1,x(-,0),则不等式1x1的解集所对应的的值为().A.1B.0C.-1D.1或0【解析】解1x1得其解集为x|01)=.【解析】依题意得P(X=1)=2P(X=2),P(X=3)=12P(X=2),P(X=3)=P(X=4).由分布列性质,得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1,4P(X=2)=1,得P(X=2)=14,P(X=3)=18.P(X1)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=12.【答案】1211.一个盒子装有6张卡片,卡片上分别写着如下6个定义域为R的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,f6(x)=2.(1)现从盒子中任取2张卡片,将卡片上的函数相加得到1个新函数,求所得新函数是奇函数的概率;(2)现从盒子中依次抽取卡片,且每次取出后均不放回,若抽取到写有偶函数的卡片,则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数的分布列.【解析】(1)6个函数中奇函数有f1(x)=x,f3(x)=x3,f4(x)=sin x.由这3个奇函数中的任意2个奇函数相加均可得1个新的奇函数,记事件A为“任取2张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”.由题意知P(A)=C32C62=15.(2)由题意知,的可能取值为1,2,3,4.则P(=1)=C31A61=12,P(=2)=A31C31A62=310,P(=3)=A32C31A63=320,P(=4)=A33C31A64=120.故的分布列为1234P12310320120
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