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第一章集合与函数的概念章末小结一、选择题1.满足条件M1=1,2,3的集合M的个数是().A.4B.3C.2D.1【解析】M1=1,2,3,M=2,3或1,2,3.【答案】C2.已知函数f(x)=(1-x)2,x0,1-x,x0,则f(f(3)=().A.4B.9C.-3D.-2【解析】30,f(3)=1-3=-2.又-20,f(f(3)=f(-2)=(1+2)2=9.【答案】B3.若函数y=f(x)的定义域为集合A=x|0x2,值域为集合B=y|1y2,则这个函数的图象可能是().【解析】由函数定义知,A不合定义域要求,B中y值的取值不唯一,C不合值域要求,故选D.【答案】D4.已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,则f(4)+f(-4)的值为().A.56B.10C.8D.不确定【解析】y=f(x)是偶函数,f(-4)=f(4)=5,f(4)+f(-4)=10.【答案】B5.如图,对应关系f是从A到B的映射的是().【解析】A选项中元素4,9在集合B中对应的元素不唯一,故不能构成A到B的映射,B,C选项中元素0在集合B中没有对应的元素,故选D.【答案】D6.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x20,+)(x1x2),有f(x2)-f(x1)x2-x10,则().A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)0,则f(x2)-f(x1)0,即f(x2)21,f(3)f(2)f(1).又f(x)是偶函数,f(-2)=f(2),f(3)f(-2)0,-1,x0,所以选C.【答案】C8.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是().A.f(x)=9x+8B.f(x)=3x+2C.f(x)=-3x-4D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4【解析】f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2,f(x)=3x+2.【答案】B9.已知f(x)为奇函数,在3,6上单调递增,且在3,6上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)等于().A.-15B.-13C.-5D.5【解析】因为函数f(x)在3,6上是增函数,所以f(6)=8,f(3)=-1.又因为函数为奇函数,所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-28+1=-15.【答案】A10.已知函数f(x)=ax2+2(a-3)x+1在区间-2,+)上单调递减,则实数a的取值范围是().A.(-,3B.-3,0C.-3,0)D.-2,0【解析】当a=0时,函数f(x)为R上的减函数,所以在-2,+)上也是减函数;当a0时,函数f(x)图象的对称轴为直线x=-a-3a,依题意有a0,-a-3a-2,解得-3a0.综上,实数a的取值范围为-3,0.故选B.【答案】B11.已知函数f(x)是定义在0,+)上的增函数,则满足f(2x-1)f13的实数x的取值范围是().A.13,23B.13,23C.12,23D.12,23【解析】由题意得2x-10,2x-113,解得12x23,故选D.【答案】D12.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x+2,则不等式2f(x)-10的解集是().A.x|0x52B.x|x-32或0x52C.x|-32x0D.x|-32x0或0x0时,-x0,所以f(-x)=-f(x)=-x+2,即f(x)=x-2.当x0时,f(x)=x+2,由2f(x)-10,得2(x+2)-10,解得x-32,故原不等式的解集为xx-32;当x0时,f(x)=x-2,由2f(x)-10,得2(x-2)-10,解得x52,故原不等式的解集为x0x52.综上可知,所求不等式的解集为x|x-32或0x52.【答案】B二、填空题13.函数f(x)=x+1+12-x的定义域为.【解析】由题意知x+10,2-x0,解得x-1且x2.函数的定义域是-1,2)(2,+).【答案】-1,2)(2,+)14.已知集合A=x|x2,B=x|xm,且AB=A,则实数m的取值范围是.【解析】AB=A,即BA,实数m的取值范围为2,+).【答案】2,+)15.已知函数f(x)是奇函数,当1x4时,f(x)=x2-4x+5,则当-4x-1时,函数f(x)的最大值是.【解析】当1x4时,f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,其最小值为1.又函数f(x)是奇函数,当-4x-1时,函数f(x)的最大值为-1.【答案】-116.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+)上单调递减,若f(-1)=0,则f(x)x0,f(x)1;当x0时,解得-1x0.故原不等式的解集为x|-1x1.【答案】x|-1x1三、解答题17.设A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2-ax+2=0,BA.(1)写出集合A的所有子集;(2)若B为非空集合,求a的值.【解析】(1)由题可知A=1,2,所以集合A的所有子集是,1,2,1,2.(2)因为B是非空集合,所以当集合B中只有一个元素时,由=0,得a2-8=0,即a=22,此时B=2或-2,不满足BA.当集合B中有两个元素时,由A=B,得a=3,综上可知,a的值为3.18.已知函数f(x)=-x+3,x0,4x,x0.(1)求f(f(-1)的值.(2)若f(x0)2,求实数x0的取值范围.【解析】(1)因为f(-1)=-(-1)+3=4,所以f(f(-1)=f(4)=44=16.(2)当x00时,由f(x0)2,得-x0+32,即x00时,由f(x0)2,得4x02,即x012.综上可得,实数x0的取值范围为(-,012,+.19.已知全集为R,集合A=x|y=1x+2-x,B=x|a-20,2-x0,解得00,m-1.故实数m的取值范围是(-,-1).22.已知函数f(x)=x2+1ax+b是奇函数,且f(1)=2.(1)求a,b的值;(2)当0x1时,判断函数f(x)的单调性,并给予证明;(3)求函数f(x)在12,1上的最大值与最小值.【解析】(1)函数f(x)=x2+1ax+b是奇函数,且f(1)=2.f(-1)=-f(1)=-2.由已知得f(1)=2a+b=2,f(-1)=2-a+b=-2,即 a+b=1,a-b=1,解得a=1,b=0.(2)由(1)知f(x)=x2+1x=x+1x.f(x)=x+1x在(0,1上为减函数.证明如下:任取0x1x21, 则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2+1x2=(x1-x2)+1x1-1x2=(x1-x2)+x2-x1x1x2=(x1-x2)1-1x1x2.x1-x20,1-1x1x20,即f(x1)f(x2),f(x)=x+1x在(0,1上为减函数.(3)由(2)知f(x)=x+1x在12,1上为减函数,函数f(x)在12,1上的最大值为f12=52,最小值为f(1)=2.
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