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第1课时变化率问题与导数的概念基础达标(水平一)1.函数y=f(x)的自变量x由x0改变到x0+x时,函数值的改变量y等于().A.f(x0+x)B.f(x0)+xC.f(x0)xD.f(x0+x)-f(x0)【解析】自变量x0和x0+x对应的函数值分别为f(x0)和f(x0+x),两式相减,即为函数值的改变量.【答案】D2.已知函数f(x)=ax+4,若limx0f(1+x)-f(1)x=2,则实数a的值为().A.2B.-2C.3D.-3【解析】limx0f(1+x)-f(1)x=2,即f(1)=2,而f(1)=limx0axx=a,所以a=2.【答案】A3.已知函数f(x)=2x2+1的图象上点P(1,3)及邻近点Q(1+x,3+y),则yx=().A.4B.4xC.4+2xD.2x【解析】由题意,y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)2+1-3=4x+2(x)2,yx=4x+2(x)2x=4+2x.【答案】C4.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是().A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同;在t0到t1范围内,甲、乙所用的时间相同,而甲走的路程较多,所以甲的平均速度较大.【答案】C5.函数y=cos x在区间0,6上的平均变化率为;在区间3,2上的平均变化率为.【解析】当x0,6时,yx=cos6-cos06-0=33-6;当x3,2时,yx=cos2-cos32-3=0-126=-3.因此,y=cos x在区间0,6和区间3,2上的平均变化率分别是33-6和-3.【答案】33-6-36.过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+x,2+y)作曲线的割线,当x=0.1时,割线的斜率k=.【解析】割线的斜率k=(1+x)2+1-(12+1)1+x-1=2x+(x)2x=2+x.当x=0.1时,k=2.1.【答案】2.17.在某赛车比赛中,一赛车位移s(单位:m)与比赛时间t(单位:s)存在函数关系s=10t+5t2.(1)当t=20,t=0.1时,求s与st的值;(2)求当t=20时的瞬时速度.【解析】(1)s=s(20+t)-s(20)=10(20+0.1)+5(20+0.1)2-1020-5202=1+20+50.01=21.05 m,st=21.050.1=210.5 m/s.(2)因为st=10(20+t)+5(20+t)2-1020-5202t=5t+210,当t趋于0时,st趋于210,所以赛车在t=20时的瞬时速度为210 m/s.拓展提升(水平二)8.已知函数f(x)在x=1处存在导数,则limx0f(1+x)-f(1)3x=().A.f(1)B.3f(1)C.13f(1)D.f(3)【解析】limx0f(1+x)-f(1)3x=13limx0f(1+x)-f(1)x=13f(1). 【答案】C9.已知点P(x0,y0)是抛物线y=3x2+6x+1上的一点,且f(x0)=0,则点P的坐标为().A.(1,10)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(-1,10)【解析】yx=f(x0+x)-f(x0)x=3(x0+x)2+6(x0+x)+1-3x02-6x0-1x=3x+6x0+6,f(x0)=limx0 yx=limx0 (3x+6x0+6)=6x0+6=0,解得x0=-1.把x0=-1代入y=3x2+6x+1,得y=-2.点P的坐标为(-1,-2).【答案】B10.设函数f(x)=ax+b,若f(1)=f(1)=2,则f(2)=.【解析】由导数的定义可知f(1)=limx0f(1+x)-f(1)x=limx0a(1+x)+b-(a+b)x=limx0axx=a.f(1)=2,a=2.又f(1)=2,a+b=2,b=0,f(x)=2x,f(2)=4.【答案】411.已知函数f(x)=x+1x(x0).(1)记函数f(x)从x=12到x=2的平均变化率为
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