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第2讲 利用导数研究函数的综合问题A组小题提速练一、选择题1曲线yex在点A处的切线与直线xy30垂直，则点A的坐标为()A(1，e1)B(0,1)C(1，e) D(0,2)解析：与直线xy30垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为yex，所以由yex1，解得x0，此时ye01，即点A的坐标为(0,1)，选B.答案：B2已知函数f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)在原点附近的图象大致是()解析：因为f(x)2x2sin x，f(x)22cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增，故选A.答案：A3曲线f(x)xln x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为()A. B.C. D.解析：因为f(x)xln x，所以f(x)ln x1，所以f(1)1，所以曲线f(x)xln x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为.答案：B4如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A1 B2C3 D4解析：由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正答案：A5当函数yx2x取极小值时，x()A. BCln 2 Dln 2解析：令y2xx2xln 20，x.答案：B6函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1C0 D不存在解析：f(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0，解得x，即f(x)的单调递增区间为(，)，(，)b(1,4)，(，2)符合题意答案：D11(2017长沙模拟)已知函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为()A.1 B.C. D.1解析：由f(x)得f(x)，当a1时，若x，则f(x)0，f(x)单调递减，若1x0，f(x)单调递增，故当x时，函数f(x)有最大值，得a1，不合题意；当a1时，函数f(x)在1，)上单调递减，最大值为f(1)，不合题意；当0a0得0x，g(x)0得x0，即(ex1)(x1)0，解得x(，1)或x(0，)所以函数f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)答案：(，1)和(0，)15函数f(x)x33x26在x_时取得极小值解析：依题意得f(x)3x(x2)当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0.因此，函数f(x)在x2时取得极小值答案：216已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：由题意知f(x)x2a0在区间上恒成立，即2ax在区间上恒成立又yx在区间上单调递减，max，2a，即a.答案：B组大题规范练1已知函数f(x)(ax1)ln x.(1)若a2，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线l的方程；(2)设函数g(x)f(x)有两个极值点x1，x2，其中x1(0，e，求g(x1)g(x2)的最小值解析：(1)当a2时，f(x)2ln xx2，f(1)2，f(1)，切线l的方程为y2(x1)，即4x2y30.(2)函数g(x)aln xxa，定义域为(0，)，g(x)1，令g(x)0，得x2ax10，其两根为x1，x2，且x1x2a，x1x21，故x2，a.g(x1)g(x2)g(x1)galn x1x1a22aln x122ln x1，令h(x)22ln x，x(0，e则g(x1)g(x2)minh(x)min，h(x)，当x(0,1时，h(x)0，当x(1，e时，h(x)0，即当x(0，e时，h(x)单调递减，h(x)minh(e)，故g(x1)g(x2)min.2已知函数f(x)ax3bx在x处取得极小值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点M(1，m)的直线与曲线yf(x)相切且这样的切线有三条，求实数m的取值范围解析：(1)由题意得，f(x)3ax2b.函数f(x)ax3bx在x处取得极小值，即解得则函数f(x)的解析式为f(x)2x33x.(2)设切点坐标为(x0,2x3x0)，则曲线yf(x)的切线的斜率kf(x0)6x3，切线方程为y(2x3x0)(6x3)(xx0)，代入点M(1，m)，得m4x6x3，依题意，方程m4x6x3有三个不同的实根令g(x)4x36x23，则g(x)12x212x12x(x1)，当x(，0)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.故g(x)4x36x23在(，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减g(x)极小值g(0)3，g(x)极大值g(1)1.当3m1时，g(x)4x36x23的图象与直线ym有三个不同的交点，3m1时，存在这样的三条切线故实数m的取值范围是(3，1)3已知函数f(x)ln x(1a)x2x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a1时，证明：对任意的x(0，)，有f(x)0)，当a1时，由f(x)0得2(1a)x2x10且98a，x1，x2，当a1时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当a1时，f(x)在(0，x2)上单调递增，在(x2，)上单调递减；当a时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，x2)和(x1，)上单调递增，在(x2，x1)上单调递减(2)证明：当a1时，要证f(x)(1a)x2a1在(0，)上恒成立，只需证ln xx0)当0xe时，g(x)e时，g(x)0.所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增所以g(x)g(e)1a.又a1，即F(x)maxg(x)min，所以ln xxa1在(0，)上恒成立，故当a1时，对任意的x(0，)，f(x)0，所以函数yg(x)在1，)上单调递增，所以g(x)g(1)0，所以不等式f(x)成立，即a0符合题意当a0时，令2ax0，解得x，令1，解得a.当0a1，所以在上g(x)0，在上g(x)0恒成立，又0a，所以h(a)hln2ln 20，所以存在g0，所以0a不符合题意；当a时， 1，g(x)0在1，)上恒成立，所以函数yg(x)在1，)上单调递减，所以g(x)g(1)0，显然a不符合题意综上所述，a的取值范围为a|a0
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