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第2讲综合大题部分1已知等差数列an满足a11,a47,记cnbnan,数列cn的前n项和为Tn,且Tn2cn2.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Sn.解析:(1)由数列an是等差数列,且a11,a47,得公差d2,ana1(n1)d2n1.当n1时,c12c12,解得c12,当n2时,cnTnTn12cn2(2cn12)2cn2cn1,cn2cn1,数列cn是以c12为首项,2为公比的等比数列,cn22n12n,bn2n12n.(2)由(1)知,bn2n12n,Sn(132n1)(2222n)n22n12.2(2018高考浙江卷)已知等比数列an的公比q1,且a3a4a528,a42是a3,a5的等差中项数列bn满足b11,数列(bn1bn)an的前n项和为2n2n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式解析:(1)由a42是a3,a5的等差中项,得a3a52a44,所以a3a4a53a4428,解得a48.由a3a520,得8(q)20,解得q2或q,因为q1,所以q2.(2)设cn(bn1bn)an,数列cn的前n项和为Sn.由cn解得cn4n1.由(1)可得an2n1,所以bn1bn(4n1)()n1,故bnbn1(4n5)()n2,n2,bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)()n2(4n9)()n373.设Tn3711()2(4n5)()n2,n2,则Tn37()2(4n9)()n2(4n5)()n1,所以Tn344()24()n2(4n5)()n1,因此Tn14(4n3)()n2,n2.又b11,所以bn15(4n3)()n2.3已知函数f(x),设数列an满足an1f(an),且a1.(1)求数列an的通项公式;(2)若记bif(2i1)an)(i1,2,3,n),求数列bi的前n项和Tn.解析:(1)由an1f(an)得an1,所以2,所以是首项为2,公差为2的等差数列所以2(n1)22n,所以an.(2)法一:由(1)知bif()(i1,2,3,n),则bi,bni1,bibni11(i1,2,3,n),Tnb1b2b3bn,Tnbnbn1bn2b1,两式相加得2Tn(b1bn)(b2bn1)(b3bn2)(bnb1) (bibni1)n,所以Tn.法二:由(1)知bif()(i1,2,3,n),则Tnb1b2b3bnf()f()f(),又f(x),所以f(x)f(1x)1.则2Tnf()f()f()f()f()f()n,所以Tn.4(2018宜昌调研)已知数列an满足a11,an(nN*,n2),数列bn满足关系式bn(nN*)(1)求证:数列bn为等差数列;(2)求数列an的通项公式解析:(1)证明:bn,且an,bn1,bn1bn4.又b11,数列bn是以1为首项,4为公差的等差数列(2)由(1)知数列bn的通项公式为bn1(n1)44n3,又bn,an.数列an的通项公式为an.
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