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第3讲 立体几何中的热点问题配套作业一、选择题1设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分不必要条件是()Aac，bc B，a，bCa，b Da，b答案D解析对于C，在平面内存在cb，因为a，所以ac，故ab；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出ab.2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()A B C D答案B解析由题可知平面APC平面ABCD，且点P在各个面内的正投影均为正方形的中心根据对称性，只需考虑PAC在底面、后面、右面的正投影即可显然PAC在底面的正投影为正方形的对角线，在后面与右面的正投影相同，均为等腰直角三角形，故选B.3如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAH平面EFH BAG平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF答案A解析由平面图形得AHHE，AHHF，又HEHFH，所以AH平面EFH，故选A.4如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图是(用代表图形)()A BC D答案B解析正视图应为边长为3和4的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为；侧视图应为边长为4和5的长方形，且侧视图中左上到右下的对角线应为实线，故侧视图为；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为，故选B.5如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析因为在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，则CDAB，又ADAB，所以AB平面ADC，即平面ABC平面ADC，故选D.6如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合)，BD1平面B1CE，则()ABD1CEBAC1BD1CD1E2EC1DD1EEC1答案D解析设B1CBC1O，如图，BD1平面B1CE，平面BC1D1平面B1CEOE，所以BD1OE.因为O为BC1的中点，所以E为C1D1的中点，所以D正确；由异面直线的定义知BD1，CE是异面直线，故A错；在矩形ABC1D1中，AC1与BD1不垂直，故B错，C显然是错的，所以选D.7(2018甘肃二诊)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1，AB4，若在棱AB上存在点P，使得D1PPC，则AD的取值范围是()A(0,1 B(0,2 C(1， D1,4)答案B解析连接DP，由D1PPC，DD1PC，且D1P，DD1是平面DD1P上两条相交直线，得PC平面DD1P，PCDP，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0ADCD2，故选B.二、填空题8(2017泉州模拟)点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P平面ACD1；DPBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是_答案解析对于，VAD1PCVPAD1C点P到面AD1C的距离，即为线BC1与面AD1C的距离，为定值，故正确；对于，因为面A1C1B面AD1C，所以线A1P面AD1C，故正确；对于，DB与BC1就成60角，故错误；对于，由于B1D面ACD1，所以面B1DP面ACD1，故正确9已知正方体ABCDA1B1C1D1，点P是线段AC1上的一动点，当BPD最大时，APAC1_.答案14解析连接AC，BD，交于点O，连接OP，显然OPBD，BPD2BPO，要使BPD最大，只需BPO最大，只需OP最小，此时OPAC1.由平面几何的知识易得，当OPAC1时，APAC114.10(2018山西太原一模)已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC的体积取最大值时，其外接球的体积为_答案解析依题意知，平面ADC平面ABC时，点D到平面ABC的距离最大，易知，此时三棱锥DABC外接球的球心是棱AB的中点，所以其外接球的体积为.11.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，E，F分别是棱BC，DD1上的点，且DFFD1，如果B1E平面ABF，则B1E的长度为_答案解析取CC1的中点为G，连接BG，FG，因为B1EAF，所以B1EBG，从而GBCBB1E.所以tanGBCBB1E，所以E为BC的中点，从而有B1E.三、解答题12(2018北京西城一模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAC，过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G(E，F，G三点均不在棱的端点处)直线AE是否可能与平面PCD平行？证明你的结论解直线AE与平面PCD不可能平行证明如下：假设AE平面PCD.因为ABCD，AB平面PCD，所以AB平面PCD.而AE平面PAB，AB平面PAB，AEABA，所以平面PAB平面PCD，这与已知矛盾，所以假设不成立，即AE与平面PCD不可能平行13如图1，菱形ABCD的边长为12，BAD60，AC交BD于点O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，如图2所示，M，N分别是棱BC，AD的中点，且DM6.(1)求证：OD平面ABC；(2)求三棱锥MABN的体积解(1)证明：四边形ABCD是菱形，ADDC，ODAC，在ADC中，ADDC12，ADC120，则易得OD6.连接OM，M是BC的中点，OMBC6，又MD6，OD2OM2MD2，DOOM，OM平面ABC，AC平面ABC，OMACO，OD平面ABC.(2)取线段AO的中点E，连接NE.N是棱AD的中点，NEDO3，且NEDO.由(1)得OD平面ABC，NE平面ABC，在ABM中，AB12，BM6，ABM120，SABMABBMsinABM12618.V三棱锥MABNV三棱锥NABMSABMNE18.14(2018北京东城区期末)已知ABD和BCD是两个直角三角形，BADBDC，E，F分别是边AB，AD的中点，现将ABD沿BD边折起到A1BD的位置，如图所示，使平面A1BD平面BCD.(1)求证：EF平面BCD；(2)求证：平面A1BC平面A1CD；(3)问A1C与BD是否有可能垂直？做出判断并说明理由解(1)证明：因为E，F分别是边AB，AD的中点，所以EFBD，因为EF平面BCD，BD平面BCD，所以EF平面BCD.(2)证明：因为平面A1BD平面BCD，平面A1BD平面BCDBD，CDBD，所以CD平面A1BD.因为A1B平面A1BD，所以CDA1B，因为A1BA1D，A1DCDD，所以A1B平面A1CD.因为A1B平面A1BC，所以平面A1BC平面A1CD.(3)A1C与BD不可能垂直理由如下：假设A1CBD，因为CDBD，A1CCDC，所以BD平面A1CD，所以BDA1D，与A1BA1D矛盾，故A1C与BD不可能垂直
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