2019高考数学一轮复习 第4章 三角函数 专题研究2 正、余弦定理应用举例练习 理.doc

专题研究2 正、余弦定理应用举例1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()ABC D答案D解析由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.2.(2017广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由题意，得B30.由正弦定理，得，AB50 (m)故选A.3某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A15米 B5米C10米 D1米答案C解析如图所示，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh，在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，h25h500，解得h10或h5(舍去)4有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1千米 B2sin10 千米C2cos10 千米 Dcos20 千米答案C解析由题意知DCBC1，BCD160，BD2DC2CB22DCCBcos16011211cos(18020)22cos204cos210，BD2cos10.5.(2017湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB()A5 B15C5 D15答案D解析在BCD中，CBD18045135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.故选D.6在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30，60，则塔高为()A. m B. mC. m D. m答案A解析如图，在RtBAC中，ABC30，AB200，BC.EBD30，EBC60，DBC30，BDC120.在BDC中，.DC(m)7(2018广东佛山二模)某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中ABC60，BCD135，AB80 n mile，BC(4030) n mile，CD250 n mile，D位于A的北偏东75方向现在有一艘轮船从城市A出发以50 n mile/h的速度向城市D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西，则sin_答案解析设轮船行驶至F时收到指令，则AF50 n mile.连接AC，CF，过A作AEBC于E，则AEABsin6040(n mile)，BEABcos6040(n mile)，CEBCBE30(n mile)，AC50(n mile)，所以cosACE，sinACE，所以cosACDcos(135ACE)，所以CAD90.因为AF50 n mile，AC50 n mile，可得AFC60，所以75AFC15，故sin.8要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度答案40米解析如图设电视塔AB高为x，则在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，ADB30，BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos120.即(x)2x24022x40cos120，解得x40，电视塔高为40米9.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC，ABD，经测量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(1.732，1.414)答案(1)7米(2)小李的设计建造费用低，86 600元解析(1)在ABC中，由余弦定理，得cosC.在ABD中，由余弦定理，得cosD.由CD，得cosCcosD.AB7，AB长为7米(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：SABDADBDsinD，SABCACBCsinC.ADBDACBC，SABDSABC.故选择ABC建造环境标志费用较低ADBDAB7，ABD是等边三角形，D60.SABC10101.73217.32.总造价为5 00017.3286 600(元)10(2017盐城一模)如图所示，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?答案当设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民影响最小解析设AMN，在AMN中，.因为MN2，所以AMsin(120)在APM中，cosAMPcos(60)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，(0，120)当且仅当2150270，即60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民影响最小