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第一讲 直线与圆一、选择题1“ab4”是“直线2xay10与直线bx2y20平行”的()A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又当a1，b4时，满足ab4，但是两直线重合，故选C.答案：C2已知圆(x1)2y21被直线xy0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为()A12B13C14D15解析：(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为12，故选A.答案：A3(2018临沂模拟)已知直线3xay0(a0)被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则a的值为()A.B.C2D2解析：由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为，即，得a.答案：B4(2018济宁模拟)已知圆C过点A(2,4)，B(4,2)，且圆心C在直线xy4上，若直线x2yt0与圆C相切，则t的值为()A62B62C26D64解析：因为圆C过点A(2,4)，B(4,2)，所以圆心C在线段AB的垂直平分线yx上，又圆心C在直线xy4上，联立，解得xy2，即圆心C(2,2)，圆C的半径r2.又直线x2yt0与圆C相切，所以2，解得t62.答案：B5(2018南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y2x1与圆x2y24相交于A，B两点，则cosAOB()A.BC.D解析：因为圆x2y24的圆心为O(0,0)，半径为2，所以圆心O到直线y2x1的距离d，所以弦长|AB|22.在AOB中，由余弦定理得cosAOB.答案：D6(2018合肥第一次教学质量检测)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析：当直线l的斜率不存在时，计算出弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx3，由弦长为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有1，解得k ，综上，直线l的方程为x0或3x4y120，故选B.答案：B7已知圆O：x2y21，点P为直线1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点()A(，)B(，)C(，0)D(0，)解析：因为点P是直线1上的一动点，所以设P(42m，m)因为PA，PB是圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，所以OAPA，OBPB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦因为圆心C的坐标是(2m，)，且半径的平方r2，所以圆C的方程为(x2m)2(y)2，又x2y21，所以得，(2m4)xmy10，即公共弦AB所在的直线方程为(2xy)m(4x1)0，所以由得所以直线AB过定点(，)故选B.答案：B8若过点A(1,0)的直线l与圆C：x2y26x8y210相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，l与直线x2y20的交点为N，则|AM|AN|的值为()A5B6C7D8解析：圆C的方程化成标准方程可得(x3)2(y4)24，故圆心为C(3,4)，半径为2，则可设直线l的方程为kxyk0(k0)，由得N，又直线CM与l垂直，得直线CM的方程为y4(x3)由得M，则|AM|AN|.6.故选B.答案：B二、填空题9(2018高考全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.解析：由x2y22y30，得x2(y1)24.圆心C(0，1)，半径r2.圆心C(0，1)到直线xy10的距离d，|AB|222.答案：210(2018江苏三市三模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，点B(1，1)，P为圆x2y22上一动点，则的最大值是_解析：设动点P(x，y)，令t(t0)，则t2，整理得，(1t2)x2(1t2)y22x(24t2)y24t20，(*)易知当1t20时，(*)式表示一个圆，且动点P在该圆上，又点P在圆x2y22上，所以点P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l的方程为x(12t2)y23t20，所以圆心(0,0)到直线l的距离d，解得0t2，所以的最大值为2.答案：2三、解答题11已知圆C过点P(1,1)，且圆C与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解析：(1)设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2，令xcos ，ysin ，则xy2(sin cos )22sin2，所以的最小值为4.12已知圆C：x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标解析：(1)圆C的标准方程为(x1)2(y2)22.当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为ykx，由，得k2，此切线方程为y(2)x.当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为xya0，由，得|a1|2，即a1或a3.此切线方程为xy10或xy30.综上，此切线方程为y(2)x或y(2)x或xy10或xy30.(2)由|PO|PM|，得|PO|2|PM|2|PC|2|CM|2，即xy(x11)2(y12)22，整理得2x14y130，即点P在直线l：2x4y30上，当|PM|取最小值时，|PO|取最小值，此时直线POl，直线PO的方程为2xy0.解方程组得故使|PM|取得最小值时，点P的坐标为.
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