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第一课时直线与平面垂直1.在下列四个正方体中,满足ABCD的是(A)解析:在选项B、C、D图中,分别平移AB使之与CD相交,则交角都不是直角,可排除选项B、C、D.故选A.2.经过平面外一点作平面的垂线,则(A)(A)有且只有1条(B)可作无数条(C)1条或无数条 (D)最多2条解析:利用直线和平面垂直的性质可知只有1条.3.在四面体PABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,下列结论中不成立的是(D)(A)BC平面PDF(B)BC平面PAE(C)DF平面PAE(D)AE平面APC解析:因为D,F分别为AB,AC的中点,所以DFBC,因为DF平面PDF,BC平面PDF,故BC平面PDF,故A项正确,又AB=AC,PB=PC,E为BC的中点,所以AEBC,PEBC,而AEPE=E,所以BC平面PAE,又DFBC,所以DF平面PAE,故B、C项正确,由于AE与AP不垂直,故AE与平面APC不垂直.选D.4.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA平面ABCD,且PA=1,E为BD上一点,PEDE,则PE的长为(B)(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,连接AE.因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又因为BDPE,PAPE=P,所以BD平面PAE,所以BDAE.所以AE=.所以在RtPAE中,由PA=1,AE=,得PE=.5.已知下列命题(其中a,b为直线,为平面):若一条直线垂直于一个平面内无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面;若a,b,则ab;若ab,则过b有唯一一个平面与a垂直.其中真命题有:.解析:不正确,因为这无数条直线可能是一组平行线;不正确,和此直线垂直的直线与平面可能平行也可能相交;正确;正确.答案:6.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQQD,则a的值等于.解析:因为PA平面ABCD,所以PAQD,又因为PQQD,PAPQ=P,所以QD平面PAQ.所以AQQD,即Q在以AD为直径的圆上,当圆与BC相切时,点Q只有一个,故BC=2AB=2.答案:27.已知直线a,b和平面,下列推论不正确的是(D)(A)ab (B)b(C)a或a(D)ab解析:D不正确,因为直线与平面平行,直线不一定与平面内的所有直线平行.8.已知平面平面=l,EA于A,EB于B,a,aAB,则直线a与l的位置关系是.解析:由EA,EB知lEA,lEB,从而l平面EAB,而aAB,aEA,所以a平面EAB,所以la.答案:平行9.如图所示,PA平面ABC,M,N分别为PC,AB的中点,使得MNAC的一个条件为.解析:取AC中点Q,连接MQ,NQ,则MQAP,NQBC,由已知条件易得MQAC,若ACBC,则NQAC,所以AC平面MNQ,所以ACMN.答案:ACBC10.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置,使得D1E平面AB1F.解:连接A1B、CD1,则AB1A1B,所以AB1平面A1BCD1.又D1E平面A1BCD1,所以D1EAB1.于是D1E平面AB1FD1EAF.连接DE,又D1DAF,D1ED1D=D1,所以AF平面EDD1,所以DEAF.因为四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,所以,当且仅当F是CD的中点时,DEAF,即当点F是CD的中点时,D1E平面AB1F.11.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1平面EFPQ;(2)直线AC1平面PQMN.解:(1)如图,连接AD1,由ABCDA1B1C1D1是正方体,知AD1BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)如图,连接AC,BD,则ACBD.由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD.又ACCC1=C,所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1,所以BDAC1.连接B1D1,因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MNB1D1,故MNBD,从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMN=N,所以直线AC1平面PQMN.12.(2017全国卷)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.解:(1)取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO,又由于ABC是正三角形,所以ACBO,从而AC平面DOB,又BD平面DOB,所以ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90,由题设知AEC为直角三角形,所以EO=AC,又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面ACDE的体积之比为11.
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