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第8讲轨迹与方程1当动点A在圆x2y21上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点M的轨迹方程是()A(x3)2y24 B(x3)2y21C(2x3)24y21 D.2y22已知椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，使|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线的一支 D抛物线3若AB是过椭圆1(ab0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAMkBM()A B C D4已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1 的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax24y Bx28yCx24 y Dx28 y5记点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是()A圆 B椭圆C双曲线的一支 D直线6(2017年天津)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_7长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足2，则动点C的轨迹方程为_8已知A，B分别是直线yx和yx上的两个动点，线段AB的长为2 ，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为_9设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左右焦点(1)设椭圆C上的点到F1，F2两点距离之和等于2 ，写出椭圆C的方程；(2)设过(1)中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A，B，求ABF1的面积；(3)在(1)的条件下，设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPMkPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论10(2016年新课标)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程第8讲轨迹与方程1C2A解析：|QF1|PF1|PQ|PF1|PF2|2a，动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆3B解析：方法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(x1，y1)，kAMkBM .方法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(a,0)，M(0，b)，可得kAMkBM.4D解析：由题意，可得双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即bxay0.由e，得ba，ca.又抛物线C2：x22py(p0)的焦点坐标为，故焦点到渐近线的距离d2.p4 .抛物线C2的方程为x28 y.5D解析：若点A在圆C内，如图D135(1)，有|PA|PB|，|PA|PC|PB|PC|BC|(为定值)，其轨迹为椭圆； (1) (2)(3)图D135若点A在圆C外，如图，有|PA|PB|，|PC|PA|PC|PB|BC|(为定值)，其轨迹为双曲线的一支；若点A与圆C的圆心重合，如图，其轨迹为圆；若点A在圆C上，其轨迹为射线故选D.6(x1)2(y)21解析：如图D136，圆心C的坐标设为(1，b)，显然半径r1，又FAC120，则FAO30，OF1，则OAb.所以圆的方程为(x1)2(y)21.图D1367x21解析：设A(a,0)，B(0，b)，则a2b29.又C(x，y)，则由2，得(xa，y)2(x，by)即即代入a2b29，并整理，得x21.8.y21解析：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)P是线段AB的中点，A，B分别是直线yx和yx上的点，y1x1，y2x2.代入，得又|2 ，(x1x2)2(y1y2)212.12y2x212.动点P的轨迹C的方程为y21.9解：(1)由于点在椭圆上，所以解得故椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆C的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1，0)，|F1F2|2，所以过椭圆的焦点F2且斜率为1的直线方程为yx1.将其代入y21，整理，得3x24x0.解得x10，x2.当x10时，y11；当x2时，y2.|F1F2|F1F2|212.(3)过原点的直线l与椭圆y21相交的两点M，N关于坐标原点对称，设M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)，得y1，y21.两式相减，得，又kPM，kPN，kPMkPN.故kPMkPN的值与点P的位置无关，同时与直线l无关10(1)证明：由题设知F.设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B.则P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则直线l的方程为2x(ab)yab0.由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)解：设直线l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题设可得2|ba|，所以x10(舍去)，x11.方法一，设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE，可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合故所求轨迹方程为y2x1.方法二，利用点差法，设A(x1，y1)，B(x2，y2), AB的中点为E(x，y)，直线AB过点D(1,0)由两式相减得yy(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，当AB与x轴不垂直时，得kABkDE(x1)，整理，得y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，故所求轨迹方程为y2x1.
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