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1.2.1平面的基本性质与推论1.若点A在平面内,直线a在平面内,点A不在直线a上,用符号语言可表示为(A)(A)A,a,Aa(B)A,a,Aa(C)A,a,Aa(D)A,a,Aa解析:点与线、面的关系用、;线与面的关系用、.B项中,“a”错;C项中“A”错;D项中“Aa”错.故选A.2.如图,正方体ABCDA1B1C1D1,E,F分别为棱A1B1,BB1的中点,则D1E与CF的延长线交于一点,此点在直线(B)(A)AD上(B)B1C1上(C)A1D1上(D)BC上解析:由平面基本性质知:D1E与CF的交点在平面A1B1C1D1上,也在平面BB1C1C上,故交点在两平面的交线B1C1上.3.下列推断中,错误的是(C)(A)Al,A,Bl,Bl(B)A,A,B,B=AB(C)l,AlA(D)A,B,C,A,B,C,且A,B,C不共线,重合解析:选项A即为直线l上有两点在平面内,则直线在平面内;选项B即为两平面的公共点在公共直线上;选项D为不共线的三点确定一个平面,故D也对.选C.4.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,那么(A)(A)M一定在直线AC上(B)M一定在直线BD上(C)M可能在直线AC上,也可能在直线BD上(D)M既不在直线AC上,也不在直线BD上解析:点M一定在平面ABC与平面CDA的交线AC上.选A.5.不共线三点A,B,P且P平面,AP=A1,BP=B1,AB=O,当点P在空间中变动时,定点O与动直线A1B1的位置关系是.解析:由题意知平面ABP=A1B1,AB=O,所以O平面ABP,且O,所以OA1B1.答案:OA1B16.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A,B;(2)l,m=A,Al;(3)Pl,P,Ql,Q.解:(1)点A在平面内,点B不在平面内,如图(1);(2)直线l在平面内,直线m与平面相交于点A,且点A不在直线l上,如图(2);(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q,如图(3).7.如图,已知直线AB和AC都在平面内,直线BC与直线AB,AC分别相交于B,C两点,试判断直线BC与平面的位置关系.解:因为ABBC=B,所以BAB,即B;同理,ACBC=C,所以CAC,即C,即直线BC上有两点B,C在平面内,由基本性质1,得直线BC平面.8.已知m,n为异面直线,m平面,n平面,=l,则l(B)(A)与m、n都相交 (B)与m、n中至少一条相交(C)与m、n都不相交(D)与m、n中的一条相交解析:假设m,n都不与l相交,由m,n得:ml,nl,所以mnl.这与m,n为异面直线矛盾,因此结合图形可得l与m,n至少一条相交,故选B.9.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,BM与ED平行;CN与BM是异面直线;CN与BE是异面直线;DN与BM是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是.解析:把平面图形还原为正方体如图所示.观察图形,可知:BM与ED是异面直线,CN与BE是平行直线,故错误.答案:10.正方体ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点,那么过P、Q、R的截面图形是.解析:如图所示,取C1D1中点E,连接RE,则REPQ,所以P、Q、E、R共面.记这个平面为,延长QP与CB,延长线交于M,连接MR,交B1B于F,则F.由平面几何知识得F是B1B的中点,同理D1D的中点G,连接PF,QG,GE,则正六边形EGQPFR就是截面图形,如图所示.答案:正六边形11.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.证明:(1)如图.连接B1D1.因为EF是D1B1C1的中位线,所以EFB1D1.在正方体AC1中,B1D1BD,所以EFBD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为,又设平面BDEF为.因为QA1C1,所以Q.又QEF,所以Q.则Q是与的公共点,同理P是与的公共点,所以=PQ.又A1C=R,所以RA1C.所以R,且R,则RPQ.故P,Q,R三点共线.12.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8 cm,M,N,P三点分别是AB,A1D1,BB1的中点.(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线,以及与平面BB1C1C的交线;(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.解:(1)设M、N、P三点确定的平面为,则与平面AB1交于MP.设MPA1B1=R.则RN是与平面A1B1C1D1的交线.设RNB1C1=Q,则PQ是与平面BB1C1C的交线.(2)由正方体的棱长为8 cm,M、P分别为AB、BB1的中点,得B1R=BM=4 cm.在RA1N中,=,所以B1Q=4=.在RtPB1Q中,因为PB1=4,B1Q=,所以PQ=(cm).所以PQ的长为 cm.
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