2020版高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.2 瞬时速度与导数学案（含解析）新人教B版选修1 -1.docx

3.1.2瞬时速度与导数学习目标1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.3.掌握函数在某一点处的导数的定义知识点一瞬时变化率1物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是sf(t)，当t0到t0t时，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t的平均变化率趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度2函数的瞬时变化率设函数yf(x)在x0附近有定义，当自变量在xx0附近改变x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率知识点二函数的导数1函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或，即f(x0).2导函数定义如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)，于是在区间(a，b)内f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数记为f(x)(或yx、y)3函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0).1函数在某一点处的导数即是函数在该点处的瞬时变化率()2平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢，瞬时变化刻画的是函数在某一点处的变化情况()3f(x)在xx0处的导数就是导数f(x)在xx0处的函数值()题型一求函数在某一点处的导数例1求yx2在点x1处的导数解y(1x)2122x(x)2，2x， (2x)2，y|x12.反思感悟求函数yf(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0).跟踪训练1(1)若k，则等于()A2kBkC.kD以上都不是答案A解析，22k.(2)求y2x24x在点x3处的导数解y2(3x)24(3x)(23243)2(x)216x，2x16， (2x16)16，所以y|x316.题型二求物体运动的瞬时速度例2某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1s时的瞬时速度解3t， (3t)3.物体在t1处的瞬时变化率为3，即物体在t1s时的瞬时速度为3m/s.引申探究1若本例的条件不变，试求物体的初速度解1t， (1t)1.物体在t0处的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s，2t01t. (2t01t)2t01.则2t019，t04.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.反思感悟(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)求平均速度.求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即vs(t0)跟踪训练2一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值解质点M在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率质点M在t2附近的平均变化率4aat，4a8，即a2.题型三导数的实际意义例3一条水管中流出的水量y(单位：m3)是时间x(单位：s)的函数yf(x)x27x15(0x8)计算2s和6s时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义解在2s和6s时，水管流量函数的导数为f(2)和f(6)，当x2时，x11，所以f(2) (x11)11，即在2s时的水流速度为11m3/s.同理可得在6s时的水流速度为19m3/s.在2s与6s时，水管流量函数的导数分别为11与19.它说明在2s时附近，水流大约以11m3/s的速度流出，在6s时附近，水流大约以19m3/s的速度流出反思感悟导数实质上就是瞬时变化率，它描述物体的瞬时变化，例如位移s关于时间t的导数就是运动物体的瞬时速度，气球体积V关于半径r的导数就是气球的瞬时膨胀率跟踪训练3服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：g/mL)关于时间t(单位：min)的函数为yf(t)，假设函数yf(t)在t10和t100处的导数分别为f(10)1.5和f(100)0.60，试解释它们的实际意义解f(10)1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 g/(mLmin)f(100)0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 g/(mLmin)1如果某物体的运动方程为s2(1t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为()A4.8m/s B0.88 m/sC0.88m/s D4.8 m/s答案A解析物体运动在1.2s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得2设函数f(x)可导，则等于()Af(1) B3f(1)C.f(1) Df(3)答案A解析f(1)3函数f(x)在x0处可导，则()A与x0，h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D与x0，h均无关答案B4设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()Af(x)aBf(x)bCf(x0)aDf(x0)b考点函数在某一点处的导数题点根据定义求函数在某点处的导数答案C解析f(x0) (abx)a.5已知函数f(x)在x1处的导数为2，则实数a的值是_答案2解析f(1)a.由题意知，a2，a2.利用导数的定义求导数三步曲(1)作差求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)作比求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0).简记为一差，二比，三极限一、选择题1一质点的运动方程为s53t2，若该质点在时间段1，1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是()A3B3C6D6答案D解析由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t1时的瞬时速度为s(3t6)6.2设函数f(x)ax3，若f(1)3，则a等于()A2B2C3D3答案C解析f(1)a，又f(1)3，a3.3若可导函数f(x)的图象过原点，且满足1，则f(0)等于()A2B1C1D2答案B解析f(x)的图象过原点，f(0)0，f(0)1.4物体的运动方程是s4t216t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻为()At1Bt2Ct3Dt4答案B解析设在t0时刻速度为0，s(t0) (8t0164t)8t0160，t02.5已知f(x)x23x，则f(0)等于()Ax3B(x)23xC3D0答案C解析f(0) (x3)3.6设函数yf(x)在xx0处可导，且1，则f(x0)等于()A1B1CD.答案C解析因为3f(x0)1，所以f(x0)，故选C.7已知点P(x0，y0)是抛物线yf(x)3x26x1上一点，且f(x0)0，则点P的坐标为()A(1,10) B(1，2)C(1，2) D(1,10)答案B解析3x6x06，f(x0) (3x6x06)6x060，x01.把x01代入y3x26x1，得y02.点P的坐标为(1，2)二、填空题8已知f(3)2，f(3)2，则_.答案8解析2232323f(3)8.9对于函数y，其导数值等于函数值的点是_答案解析设导数值等于函数值的点是(x0，f(x0)，则f(x0).由题意知，f(x0)f(x0)，即，解得x02，从而y0.所以导数值等于函数值的点是.10.如图所示，水波的半径以1m/s的速度向外扩张，当半径为5m时，则水波面的圆面积的膨胀率是_答案10解析 (10r)10.11已知函数yf(x)在xx0处的导数为11，则_.答案22解析22f(x0)22.三、解答题12某一运动物体，在x(s)时离出发点的距离(单位：m)是f(x)x3x22x.(1)求在第1s内的平均速度；(2)求在1s末的瞬时速度；(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14m/s?解(1)物体在第1s内的平均变化率(即平均速度)为m/s.(2)63x(x)2.当x0时，6，所以物体在1s末的瞬时速度为6m/s.(3)2x22x2(x)22xxx.当x0时，2x22x2，令2x22x214，解得x2或x3(舍)，即经过2s该物体的运动速度达到14m/s.13已知f(x)x2，g(x)x3，求适合f(x0)2g(x0)的x0的值解由导数的定义知，f(x0)2x0，g(x0)3x.因为f(x0)2g(x0)，所以2x023x，即3x2x020，解得x0或x0.14已知函数f(x)，则f(1)等于()AB1C2D.答案A解析f(1).15建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，yf(x)0.3，求f(100)，并解释它的实际意义解，所以当x100时，0.105 (万元/m2)，即f(100)0.105.f(100)0.105表示当建筑面积为100m2时，成本增加的速度为1050元/m2，也就是说当建筑面积为100m2时，每增加1m2的建筑面积，成本就要增加1050元