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专题突破一三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点由于公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够下面结合例子谈谈在解三角形时，题目中隐含条件的挖掘隐含条件1.两边之和大于第三边例1已知钝角三角形的三边ak，bk2，ck4，求k的取值范围解设角A，B，C的对边分别为a，b，c.cba，且ABC为钝角三角形，C为钝角由余弦定理得cosC0.k24k120，解得2kk4，k2，综上所述，k的取值范围为2k6.反思感悟虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边之和大于最大边就可以跟踪训练1在ABC中，AB6，AC8，第三边上的中线ADx，则x的取值范围是_答案(1,7)解析以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，则BEAC8.AE2x.由解得1x7.x的取值范围是(1,7)隐含条件2.三角形的内角范围例2已知ABC中，B30，AB2，AC2，则ABC的面积是_答案2或解析由正弦定理，得sinC.C60或C120.当C60时，A90，则SABCABACsinA2；当C120时，A30，则SABCABACsinA.ABC的面积是2或.反思感悟利用正弦定理解决“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错跟踪训练2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，则B_.答案或解析由正弦定理，得sinAsinBcosCsinCsinBcosAsinB.0B，sinB0.sinAcosCcosAsinC，sin(AC)，sin(B).sinB.又B(0，)，B或B.例3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.，试判断三角形的形状解由和正弦定理，得，又A，B(0，)，即sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，2A2B或2A2B.AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形反思感悟在ABC中，sin Asin BAB是成立的，但sin 2Asin 2B2A2B或2A2B180.跟踪训练3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ca2acos B，则B2A_.答案0解析由正弦定理，得sinCsinA2sinAcosB.ABC，C(AB)，sinCsinAsin(AB)sinAsinAcosBcosAsinBsinA2sinAcosB，sinBcosAcosBsinAsinA，sin(BA)sinA.A，B(0，)BAA或BAA(舍)B2A0.例4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.B3A，求的取值范围解由正弦定理得cos2A2cos2A4cos2A1.ABC180，B3A，AB4A180，0A45，cosA1，14cos2A13，13.反思感悟解三角形问题，角的取值范围至关重要一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败跟踪训练4若在锐角ABC中，B2A，则A的取值范围是_答案解析由ABC为锐角三角形，得解得A.例5设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2bsinA.(1)求B的大小；(2)求cosAsinC的取值范围解(1)由正弦定理及a2bsinA得，2b，sinB，又B，B.(2)由ABC为锐角三角形，得解得A，cosAsinCcosAsinsin，A.sin，sin.cosAsinC的取值范围为.反思感悟事实上，锐角三角形三个内角均为锐角对角A的范围都有影响，故CABA.由此得A.跟踪训练5锐角ABC中，B60，b，求ABC面积S的取值范围解由正弦定理，asin Asin A2sin A.同理c2sin C，Sacsin B2sin A2sin Csin 60sin Asin C，ABC，CABA.又A，C为锐角，0A，A，Ssin Asinsin Asin Acos Asin2Asin 2Asin，A，2A，sin1，sin.即S的取值范围为.1在ABC中，必有()AsinAsinB0BsinAcosB0CsinAcosB0DcosAcosB0答案D解析在ABC中，AB，0AB.cosAcos(B)cosB.cosAcosB0.2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形答案A解析由已知得sinCsinBcosA，sin(AB)sinBcosA，sinAcosBcosAsinB0，cosBC，则C为锐角，故C.3在ABC中，a15，b20，A30，则cosB等于()AB.CD.答案A解析因为，所以，解得sin B. 因为ba，所以BA，故B有两解，所以cos B.4已知ABC中，sinAsinBsinCk(k1)2k，则k的取值范围是()A(2，) B(，0) C.D.答案D解析由正弦定理得amk，bm(k1)，c2mk(m0)，即k.5在ABC中，三边长分别为a2，a，a2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为()A.B.C.D.答案B解析三边不等，最大角大于60.设最大角为，故所对的边长为a2，sin ，120.由余弦定理得(a2)2(a2)2a2a(a2)，即a25a，故a5，故三边长为3，5，7，SABC35sin 120.6ABC中，若lgalgclgsinBlg且B，则ABC的形状是()A等边三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D直角三角形答案C解析lg alg clg sin Blg ，sin B，sin B.B，B.，sin Csin Asin，cos C0，C(0，)，C.ABC.ABC是等腰直角三角形故选C.7(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C等于()A.B.C.D.答案B解析因为a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C.又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin CsinAcos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C为ABC的内角，故sin C0，则sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.从而sin Csin A.由A知，C为锐角，故C.故选B.二、填空题8设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，sinB，C，则b_.答案1解析因为sinB且B(0，)，所以B或.又因为C，所以B，ABC.又因为a，由正弦定理得，即，解得b1.9ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，bc，SABCbcsin A.10若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_答案(2，)解析由余弦定理得a2c2b22accos B.S(a2c2b2)，acsin B2accos B，tan B，又B(0，)，B.又C为钝角，CA，0A.由正弦定理得.0tan A，2，即2.的取值范围是(2，)三、解答题11在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C，c，求ABC周长的取值范围解由正弦定理得2，a2sin A，b2sin B，则ABC的周长为Labc2(sin Asin B)2222sin .0BA，0A，A，sin1，2B，而，所以CDE只能为钝角，所以cosCDE，所以cosDABcoscosCDEcossinCDEsin.14(2018福建省三明市第一中学月考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2a2bc，A，则角C等于()A.B.或C.D.答案D解析在ABC中，由余弦定理，得cos A，即，b2c2a2bc，又b2a2bc，c2bcbc，c(1)bb，ab，cos C，C(0，)，C，故选D.15锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，若a，则b2c2的取值范围是()A(3,6 B(3,5) C(5,6 D5,6答案C解析因为(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，A，A，BC，又ABC为锐角三角形，B，由正弦定理2，得b2sin B，c2sin C，b2c24442cos，又B，可得b2c2(5,6
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