2020版高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 函数的平均变化率学案(含解析)新人教B版选修1 -1.docx

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资源描述
31.1函数的平均变化率学习目标1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率知识点函数的平均变化率1函数的平均变化率的定义已知函数yf(x)在点xx0及其附近有定义,令xxx0;yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)则当x0,比值叫做函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率2平均变化率的实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比3作用:刻画函数在区间x0,x0x上变化的快慢4几何意义:已知P1(x1,f(x1),P2(x2,f(x2)是函数yf(x)的图象上两点,则平均变化率表示割线P1P2的斜率1在平均变化率的定义中,自变量x的增量x0.()2对于函数f(x)在区间x1,x2内的平均变化率也可以表示为.()3.是f(x)在区间x0,x0x(x0)上的平均变化率,也可以说是f(x)在xx0处的变化率()题型一函数的平均变化率命题角度1求函数的平均变化率例1求函数f(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率,取x的值为,哪一点附近的平均变化率最大?考点题点解在x1附近的平均变化率为k12x;在x2附近的平均变化率为k24x;在x3附近的平均变化率为k36x.若x,则k12,k24,k36,由于k1k2v乙Bv甲v乙Cv甲v乙D大小关系不确定(2)过曲线yf(x)图象上一点(2,2)及邻近一点(2x,2y)作割线,则当x0.5时割线的斜率为_考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案(1)B(2)解析(1)设直线AC,BC的斜率分别为kAC,kBC,由平均变化率的几何意义知,s1(t)在0,t0上的平均变化率v甲kAC,s2(t)在0,t0上的平均变化率v乙kBC.因为kACkBC,所以v甲v乙(2)当x0.5时,2x2.5,故2y,故k.题型二求物体的平均速度例3一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)t21,求该质点在t1,2,3附近,t时,平均速度的值,并比较在哪一时刻附近的平均速度最大解s(t)在t0到t0t之间的位移增量为s(t0t)s(t0)(t0t)21(t1)2t0t(t)2,2t0t,将t01,2,3,t分别代入上式得,当t01时,平均速度;当t02时,平均速度;当t03时,平均速度.由上面的计算知,t3附近的平均速度最大引申探究若该质点在2到2t之间的平均速度不大于5,则t(t0)的取值范围是什么?解s(t)在t0到t0t之间的位移增量为s(t0t)s(t0)(t0t)21(t1)2t0t(t)2.2t0t.当t02时,由题意,得4t5,得t1.又因为t0,故t的取值范围是(0,1反思感悟已知物体的运动方程,即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系,求其在t0,t0t内的平均速度,根据平均速度的意义可知就是求这个函数在t0,t0t内的平均变化率跟踪训练3动点P沿x轴运动,运动方程为x10t5t2,式中t表示时间(单位:s),x表示距离(单位:m),求在20t20t时间段内动点的平均速度,其中(1)t1;(2)t0.1;(3)t0.01.解动点在20t20t时间段内的平均速度为5t210,(1)当t1时,51210215(m/s)(2)当t0.1时,50.1210210.5(m/s)(3)当t0.01时,50.01210210.05(m/s)1一物体的运动方程是s32t,则在2,2.1这段时间内的平均速度是()A0.4B2C0.3D0.2答案B解析2.2如图,函数yf(x)在1到3之间的平均变化率为()A1B1C2D2答案B解析1.3在曲线yf(x)x22的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2x,6y),则为()Ax4Bx4Cx4D4x答案C解析x4.4将半径为R的球加热,若半径从R1到Rm时球的体积膨胀率为,则m的值为_答案2解析Vm313(m31),.m2m17,m2或m3(舍)理解平均变化率要注意以下几点:(1)平均变化率表示点(x1,f(x1)与点(x2,f(x2)连线的斜率,是曲线陡峭程度的“数量化”(2)为求点x0附近的平均变化率,上述表达式常写为的形式(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势自变量的改变量x取值越小,越能准确体现函数的变化情况一、选择题1如果质点M按规律s3t2运动,则在时间2,2.1内的平均速度是()A4B4.1C0.41D3答案B解析4.1.2.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是()A甲B乙C相同D不确定答案B解析在t0处,虽然W1(t0)W2(t0),但是在t0t处,W1(t0t)W2(t0t),即,所以在相同时间t内,甲厂比乙厂的平均治污率小所以乙厂的治污效果较好3已知函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及附近一点(1x,f(1x),则等于()A4B42xC42(x)2D4x答案B解析yf(1x)f(1)2(1x)2114x2(x)2,42x.4函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率中,x不可能()A大于0B小于0C等于0D大于0或小于0答案C5函数yf(x)x2x在x1到x1x之间的平均变化率为()Ax2B2x(x)2Cx3D3x(x)2答案C解析x3.6函数f(x)x2在x0到x0x之间的平均变化率为k1,在x0x到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是()Ak1k2Bk1k2Ck1k2D无法确定答案D解析k12x0x,k22x0x.又因为x可正可负且不为0,所以k1,k2的大小关系不确定二、填空题7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段t0,t1,t1,t2,t2,t3上的平均速度分别为1,2,3,则三者的大小关系为_(用“”连接)答案123解析1kOA,2kAB,3kBC,由图象知,kOAkAB0)上的平均变化率不大于1,求x的取值范围考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用解函数f(x)在1,1x上的平均变化率为32x由32x1,得x1.又x0,x的取值范围是(0,)13以初速度v0竖直向上抛一物体的位移s与时间t的关系为s(t)v0tgt2(g为物体的重力加速度)(1)求物体从时刻t0到时刻t0t这段时间内的平均速度;(2)求物体在t10s到10.4s这段时间内的平均速度解(1)由t0到t0t,则改变量为t.因为ss(t0t)s(t0)v0(t0t)g(t0t)2v0t0gtv0tgt0tg(t)2,所以v0gt0gt.(2)当t010s,t0.4s时,则物体在t10s到10.4s这段时间内的平均速度v010gg0.4v010.2g.14婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则第二年婴儿体重的平均变化率为_千克/月答案0.25解析第二年婴儿体重的平均变化率为0.25(千克/月)15若函数yf(x)x2x在2,2x(x0)上的平均变化率不大于1,求x的取值范围解函数f(x)在2,2x上的平均变化率为3x,由3x1,得x2.又x0,x的取值范围是(0,).
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