资源描述
圆周运动和万有引力经典例题一转动装置如图所示，四根轻绳OA、OC、AB和CB与两小球以及一小滑块连接，轻绳长均为L，球和滑块的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，转动该装置并缓慢增大转速，小滑块缓慢上升忽略一切摩擦和空气阻力，（重力加速度为g，sin37=0.6，cos37=0.8）求(1)当OA与竖直方向成37角时，装置转动的角速度；(2)当OA与竖直方向成37角缓慢增大到与竖直方向成53角时，求在这个过程中A、B增加的重力势能分别是多少；外界对转动装置所做的功W是多少？分析与解答：（1）对小球A：竖直方向：F1cos37=F2cos37+mg水平方向：F1sin37+F2sin37=m02Lsin370对滑块：2F2cos37=mg联立解得：=5g2l（2）当OA与竖直方向成37角缓慢增大到与竖直方向成53角时，对小球A：竖直方向：F1cos53=F2cos53+mg水平方向：F1sin53+F2sin53=m2Lsin53对滑块：2F2cos53=mg解得：=10g3l由v=Lsin53v0=Lsin37可得W=12mv2-12mv02+2mg15l+mg25l=6130mglEPA=mg15l=15mglEPB=mg25l=25mgl变式1如图所示，一个质量为m的小球由两根细绳拴在竖直转轴上的A、B两处，AB间距为L，A处绳长为2L，B处绳长为L，两根绳能承受的最大拉力均为2mg，转轴带动小球转动。则： （1）当B处绳子刚好被拉直时，小球的线速度v多大？（2）为不拉断细绳，转轴转动的最大角速度多大？（3）若先剪断B处绳子，让转轴带动小球转动，使绳子与转轴的夹角从45开始，直至小球能在最高位置作匀速圆周运动，则在这一过程中，小球机械能的变化为多大？分析与解答：（1）B处绳被拉直时，绳与杆夹角45，mgtan=mv2L，解得v=gL.（2）此时，B绳拉力为TB2mg，A绳拉力不变，TAcos=mg ，TAsin+TB=m2L解得=3gL.（3）小球在最高位置运动时，TA=2mg ，TAcos=mg，60，TAsin=mvt22Lsin ，得：vt=32gL2E=mg2l(cos-cos)+(12mvt2-12mv02)解得E=(2+2)4mgL变式2某同学用圆锥摆探究圆周运动的课外实验中，把不可伸长的轻绳穿过用手固定的竖直光滑圆珠笔管，笔管长为l，轻绳两端栓着质量分别为4m、5m的小球A和小物块B，开始实验时，用手拉着小球A使它停在笔管的下端，这时物块B距笔管的下端距离为l，笔管的下端到水平地面的距离为10l，拉起小球A，使绳与竖直方向成一定夹角，给小球A适当的水平速度，使它在水平面内做圆周运动，上述过程中物块B的位置保持不变，已知重力加速度为g，sin53=0.8，cos53=0.6，（1）求绳与竖直方向夹角和小球A做圆周运动的角速度1；（2）若小球A做（1）问中圆周运动时剪断轻绳，求小球A第一次落地点到物块B落地点间的距离s；（3）若某同学开始实验时不断晃动笔管，使小球A带动B上移，当B上升到笔管下方某位置，系统稳定后，测得小球在水平面内做圆周运动的角速度为2，求此过程中人对A、B组成的系统做功W。分析与解答：（1）小球A在重力和轻绳的拉链作用下在水平面内做圆周运动，则轻绳的拉链T=5mg；Tcos-4mg=0，Tsin=4m12lsin，解得=37；1=5g4l（2）在小球做圆周运动时剪断轻绳，A做平抛运动，设平抛运动时间为t，则515l=12gt2平抛的初速度v1=1lsin，由几何关系可知s=v1t2+lsin2，解得s=310610l（3）设B物体位置上移x，小球A做圆周运动时轻绳与竖直方向的夹角为则Tcos-4mg=0，Tsin=4m22(l+x)sin，解得x=5g422-l由功能关系可知W=5mgx+4mgl-(l+x)cos+124m(l+x)2sin2，解得W=27mg2822-mgl变式3如图所示,在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的物体,圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,细线与轴线之间的夹角为=300 ,物体以速度v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动.（1）当v1=gl6时,求绳对物体的拉力. （2）当v2=3gl2 ,求绳对物体的拉力.分析与解答：（1）当v1v时，物体没有离开锥面时，此时物体与锥面之间有弹力作用，如图所示：则在水平方向：T1sin-N1cos=mv12R，竖直方向：T1cos+N1sin-mg=0，R=Lsin解得：T1=33+16mg；（2）v2v时，物体离开锥面，设线与竖直方向上的夹角为，如图所示：则竖直方向：T2cos-mg=0，水平方向：T2sin=mv22R2，而且：R2=Lsin解得：T2=2mg。变式4如图所示，光滑直杆AB长为L，B端固定一根劲度系数为k原长为l0的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑直杆上并与弹簧的上端连接，OO为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为（1）杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，求小球释放瞬间的加速度大小a及小球速度最大时弹簧的压缩量l1；（2）当小球随光滑直杆一起绕OO轴匀速转动时，弹簧伸长量为l2，求匀速转动的角速度；（3）若=30，移去弹簧，当杆绕OO轴以角速度0=gL匀速转动时，小球恰好在杆上某一位置随杆在水平面内匀速转动，求小球离B点的距离L0分析与解答：（1）小球从弹簧的原长位置静止释放时，根据牛顿第二定律有：mgsin=ma解得：a=gsin小球速度最大时其加速度为零，则有：kl1=mgsin解得：l1=mgsink ，（2）设弹簧伸长l2时，球受力如图所示：水平方向上有：FNsin+kl2cos=m2（l0+l2)cos竖直方向上有：FNcos-kl2sin-mg=0解得：=kl2-mgsinmrcos；（3）当杆绕OO轴以角速度0匀速转动时，设小球距离B点L0，此时有：mgtan=mL0cos解得：L0=gtancos=23L。变式5某工厂生产流水线示意图如图所示，半径较大的水平圆盘上某处E点固定一小桶，在圆盘直径DE正上方平行放置长为L=6m的水平传送带，传送带轮的半径都是 r=0.1m，传送带右端C点与圆盘圆心O在同一竖直线上，竖直高度h1.25 m。AB为一个与CO在同一竖直平面内的四分之一光滑圆轨道，半径R1.25 m，且与水平传送带相切于B点。一质量m0.2 kg的工件(可视为质点)从A点由静止释放，工件到达圆弧轨道B点无碰撞地进入水平传送带，工件与传送带间的动摩擦因数0.2，当工件到达B点时，圆盘从图示位置以一定的转速n绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，工件到达C点时水平抛出，刚好落入圆盘上的小桶内。取g=10m/s2，求：(1)滑块到达圆弧轨道B点时对轨道的压力；(2)若传送带不转动时圆盘转动的转速n应满足的条件；(3)当传送带轮以不同角速度顺时针匀速转动时，工件都从传送带的C端水平抛出，落到水平圆盘上，设落点到圆盘圆心O的距离为x，通过计算求出x与角速度之间的关系并准确作出x图像。分析与解答：（1）从A到B由动能定理得：mgR=12mvB2在B点由牛顿第二定理得：FN-mg=mvB2R联立解得：FN=3mg=6N由牛顿第三定律得：FN=FN=6N方向竖直向下（2）若传送带不动，设物体到达C点的速度为vC对物体由动能定理得：-mgL=12mvC2-12mvB2解得：vC=1m/s设物体从B点到C点的时间为t1，则：L=vB+vC2t1解得：t1=2s设物体做平抛运动的时间为t2，则：h=12gt22解得：t2=0.5s故，转盘转动的时间为：t=t1+t2=2.5s在t时间内转盘应转动整数圈，物体才能落入小桶内，则：t=kT（k=1.2.3.）圆盘的转速n=1T=kt=0.4k(r/s) （k=1.2.3.）（3）若物体速度一直比传送带大，物体将一直做减速运动，设其到C点时速度为vC1由动能定理得：-mgL=12mvC12-12mvB2解得：vC1=1m/s则物体的位移为x=vC1t2=0.5m传送带转动的角速度应满足vC1r=10rad/s若物体速度一直比传送带小，物体将一直做加速运动，设其到C点时速度为vC2由动能定理得：mgL=12mvC22-12mvB2解得：vC2=7m/s则物体的位移为x=vC2t2=3.5m传送带转动的角速度应满足vC2r=70rad/s当传送带的角速度满足10rad/s70rad/s时物体到达C点的速度与传送带相等，为vC=r，位移为x=vCt2=20所以x随变化的图像为经典例题图示为一过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的光滑圆形轨道组成，BC分别是圆形轨道的最低点和最高点，其半径R=1m，一质量m1kg的小物块（视为质点）从左側水平轨道上的A点以大小v012ms的初速度出发，通过竖直平面的圆形轨道后，停在右侧水平轨道上的D点。已知A、B两点间的距离L1575m，物块与水平轨道写的动摩擦因数=02，取g10ms2，圆形轨道间不相互重叠，求：（1）物块经过B点时的速度大小vB；（2）物块到达C点时的速度大小vC；（3）BD两点之间的距离L2，以及整个过程中因摩擦产生的总热量Q分析与解答：（1）物块从A到B运动过程中，根据动能定理得：-mgL=12mvB2-12mv02解得：vB=11m/s（2）物块从B到C运动过程中，根据机械能守恒得：12mvB2=12mvC2+mg2R解得：vC=9m/s（3）物块从B到D运动过程中，根据动能定理得：-mgL2=0-12mvB2解得：L2=30.25m对整个过程，由能量守恒定律有：Q=12mv02-0解得：Q=72J变式1如图所示，质量m0.2kg的金属小球从距水平面h5.0 m的光滑斜面上由静止开始释放，运动到A点时无能量损耗，水平面AB是粗糙平面，与半径为R0.9m的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内，D为轨道的最高点，小球恰能通过最高点D，求：(g10 m/s2)(1)小球运动到A点时的速度大小；(2)小球从A运动到B时摩擦阻力所做的功；分析与解答：（1）小球运动到A点时的速度为vA，根据机械能守恒定律可得：mgh=12mvA2解得vA=10m/s.（2）小球经过D点时的速度为vD，则：mg=mvD2R解得vD=3m/s小球从A点运动到D点克服摩擦力做功为Wf，则：-mgR-Wf=12mvD2-12mvA2解得Wf=-5.5J变式2某同学设计出如图所示实验装置，将一质量为0.2kg的小球（可视为质点）放置于水平弹射器内，压缩弹簧并锁定，此时小球恰好在弹射口，弹射口与水平面AB相切于A点。AB为粗糙水平面，小球与水平面间动摩擦因数0.5，弹射器可沿水平方向左右移动；BC为一段光滑圆弧轨道。O/为圆心，半径R0.5m，O/C与O/B之间夹角为37。以C为原点，在C的右侧空间建立竖直平面内的直角坐标系xOy，在该平面内有一水平放置开口向左且直径稍大于小球的接收器D。（sin37=0.6，cos37=0.8，g取10m/s2）（1）某次实验中该同学使弹射口距离B处L11.6m处固定，解开锁定释放小球，小球刚好到达C处，求弹射器释放的弹性势能？（2）求上一问中，小球到达圆弧轨道的B点时对轨道的压力？（3）把小球放回弹射器原处并锁定，将弹射器水平向右移动至离B处L20.8m处固定弹射器并解开锁定释放小球，小球将从C处射出，恰好水平进入接收器D，求D处坐标？分析与解答：（1）从A到C的过程中，由定能定理得：W弹-mgL1-mgR（1-cos）=0解得：W弹=1.8J根据能量守恒定律得：EP=W弹=1.8J；（2）从B到C由动能定理：mgR(1-cos370)=12mvB2在B点由牛顿第二定律：FNB-mg=mvB2R带入数据联立解得：FNB=2.8N（3）小球从C处飞出后，由动能定理得：W弹-mgL2-mgR（1-cos）=12mvC2-0，解得：vC=22m/s，方向与水平方向成37角，由于小球刚好被D接收，其在空中的运动可看成从D点平抛运动的逆过程，vCx=vCcos37=825m/s，vCy=vCsin37=625m/s，由vCy=gt解得t=0.122s则D点的坐标：x=vCxt，y=12vCyt，解得：x=0.144m，y=0.384m，即D处坐标为：（0.144m，0.384m）变式3如图所示，水平平台上有一轻弹簧,左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点，平台AB段光滑,BC段长x=1m，与滑块间的摩擦因数为1=0.25.平台右端与水平传送带相接于C点，传送带的运行速度v=7m/s,传送带右端D点与一光滑斜面衔接，斜面长度s=0.5m，另有一固定竖直放置的光滑圆弧形轨道刚好在E点与斜面相切，圆弧形轨道半径R=1m，=37.今将一质量m=2kg的滑块向左压缩轻弹簧,使弹簧的弹性势能为Ep=30J,然后突然释放，当滑块滑到传送带右端D点时，恰好与传送带速度相同，并经过D点的拐角处无机械能损失。重力加速度g=10m/s2,sin53=0.8,cos53=0.6，不计空气阻力。试求：(1)滑块到达C点的速度vC；(2)滑块与传送带间的摩擦因数2；(3)若传送带的运行速度可调，要使滑块不脱离圆弧形轨道，求传送带的速度范围.分析与解答：（1）以滑块为研究对象，从释放到C点的过程，由动能定理得：Ep1mgx12mvC2代入数据得：vC=5m/s（2）滑块从C点到D点一直加速，到D点恰好与传送带同速，由动能定理得：2mgL12mv2-12mv02代入数据解得：2=0.4（3）斜面高度为：h=ssin=0.3m（）设滑块在D点的速度为vD1时，恰好过圆弧最高点，由牛顿第二定律得：mgmv12R滑块从D点到G点的过程，由动能定理得：mg(Rcosh+R)12mv12-12mvD12代入数据解得：vD1210m/s（）设滑块在D点的速度为vD2时，恰好到14圆弧处速度为零，此过程由动能定理得：mg(Rcosh)012mvD22代入数据解得：vD210m/s若滑块在传送带上一直减速至D点恰好同速，则由动能定理得：2mgL12mv传2-12mvc2代入数据解得：v传1=1m/s，所以 0v传10m/s若滑块在传送带上一直加速至D点恰好同速，由题目已知 v传2=7m/s所以v传210m/s即若传送带的运行速度可调，要使滑块不脱离圆弧形轨道，传送带的速度范围是0v传10m/s或v传210m/s变式4如图所示，竖直平面内的轨道由直轨道AB和圆弧轨道BC组成，小球从斜面上A点由静止开始滑下，滑到斜面底端后又滑上一个半径为R=0.4m的圆轨道，(g=10m/s2)(1)若接触面均光滑小球刚好能滑到圆轨道的最高点C，求小球在C点处的速度大小斜面高h(2)若已知小球质量m=0.1kg，斜面高h=2m，小球运动到C点时对轨道压力为mg，求全过程中摩擦阻力做的功分析与解答：（1）小球刚好到达C点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg=mvC2R解得vC=gR=2m/s小球从A到C过程，由机械能守恒定律得：mgh-2R=12mvC2解得：h=2.5R=1m（2）在C点，由牛顿第二定律得：mg+N=mvC2R据题有 N=mg从A到C 过程，由动能定理得：mgh-2R-W克=12mvC2-0解得：W克=0.8J变式5如图所示，光滑轨道CDEF是一“过山车”的简化模型，最低点D处入、出口不重合，E点是半径为R=0.32m的竖直圆轨道的最高点，DF部分水平，末端F点与其右侧的水平传送带平滑连接，传送带以速率v=1m/s逆时针匀速转动，水平部分长度L=1m。物块B静止在水平面的最右端F处。质量为mA=1kg的物块A从轨道上某点由静止释放，恰好通过竖直圆轨道最高点E，然后与B发生碰撞并粘在一起。若B的质量是A的k倍，A、B与传送带的动摩擦因数都为=0.2，物块均可视为质点，物块A与物块B的碰撞时间极短，取g=10m/s2。求：（1）当k=3时物块A、B碰撞过程中产生的内能；（2）当k=3时物块A、B在传送带上向右滑行的最远距离；（3）讨论k在不同数值范围时，A、B碰撞后传送带对它们所做的功W的表达式。分析与解答：（1）设物块A在E的速度为v0，由牛顿第二定律得：mAg=mAv02R，设碰撞前A的速度为v1由机械能守恒定律得：2mAgR+12mAv02=12mAv12，联立并代入数据解得：v1=4m/s；设碰撞后A、B速度为v2，且设向右为正方向，由动量守恒定律得mAv1=mA+m2v2；解得：v2=mAmA+mBv1=11+34=1m/s；由能量转化与守恒定律可得：Q=12mAv12-12mA+mBv22，代入数据解得Q=6J；（2）设物块AB在传送带上向右滑行的最远距离为s，由动能定理得：-mA+mBgs=-12mA+mBv22，代入数据解得s=0.25m；（3）由式可知：v2=mAmA+mBv1=41+km/s；（i）如果A、B能从传送带右侧离开，必须满足12mA+mBv22mA+mBgL，解得：k1，传送带对它们所做的功为：W=-mA+mBgL=-2k+1J；（ii）（I）当v2v时有：k3，即AB返回到传送带左端时速度仍为v2；由动能定理可知，这个过程传送带对AB所做的功为：W=0J，（II）当0k3时，AB沿传送带向右减速到速度为零，再向左加速，当速度与传送带速度相等时与传送带一起匀速运动到传送带的左侧。在这个过程中传送带对AB所做的功为W=12mA+mBv2-12mA+mBv22，解得W=k2+2k-152k+1；经典例题一宇航员登上某星球表面，在高为2m处，以水平初速度5m/s抛出一物体，物体水平射程为5m，且物体只受该星球引力作用求：（1）该星球表面重力加速度（2）已知该星球的半径为为地球半径的一半，那么该星球质量为地球质量的多少倍分析与解答：（1）根据平抛运动的规律：xv0t得txv055s1s由h12gt2得：g2ht22212m/s24m/s2（2）根据星球表面物体重力等于万有引力：mgGM星mR星2地球表面物体重力等于万有引力：mgGM地mR地2则M星M地gR星2gR地2=410(12)2=110变式1已知某半径与地球相等的星球的第一宇宙速度是地球的12倍。地球表面的重力加速度为g。在这个星球上用细线把小球悬挂在墙壁上的钉子O上，小球绕悬点O在竖直平面内做圆周运动。小球质量为m，绳长为L，悬点距地面高度为H。小球运动至最低点时，绳恰被拉断，小球着地时水平位移为S求：(1)星球表面的重力加速度？(2)细线刚被拉断时，小球抛出的速度多大？(3)细线所能承受的最大拉力？分析与解答：（1）由万有引力等于向心力可知GMmR2=mv2RGMmR2=mg可得g=v2R则g星14g0（2）由平抛运动的规律：H-L=12g星t2s=v0t解得v0=s42g0H-L（3）由牛顿定律，在最低点时：T-mg星mv2L解得：T=141+s22(H-L)Lmg0变式2一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x和落地时间t，又已知该星球的半径为R，己知万有引力常量为G，求：（1）小球抛出的初速度vo（2）该星球表面的重力加速度g（3）该星球的质量M（4）该星球的第一宇宙速度v（最后结果必须用题中己知物理量表示）分析与解答：（1）小球做平抛运动，在水平方向：x=vt，解得从抛出到落地时间为：v0=x/t （2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：h=12gt2， 解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t2； （3）设地球的质量为M，静止在地面上的物体质量为m，由万有引力等于物体的重力得：mg=GMmR2所以该星球的质量为：M=gR2G= 2hR2/(Gt2)； （4）设有一颗质量为m的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v，由牛顿第二定律得：GMmR2=mv2R重力等于万有引力，即mg=GMmR2， 解得该星球的第一宇宙速度为：v=gR=2hRt变式3我国实现探月计划-“嫦娥工程”。同学们也对月球有了更多的关注。(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点。已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月。分析与解答：（1）根据万有引力定律和向心力公式：GM月Mr2=M月(2T)2r mg=GMmR2解得：r=3gR2T242（2）设月球表面处的重力加速度为g月，根据题意：得到t=2v0g月又g月=GM月r2解得：M月=2v0r2Gt经典例题已知某星球表面重力加速度大小为g0，半径大小为R，自转周期为T，万有引力常量为G.求：(1)该星球质量；(2)该星球同步卫星运行轨道距离星球表面的高度；(3)该星球同步卫星运行速度的大小分析与解答：(1)由GMmR2=mg0解得星球质量为：M=g0R2G(2)由GMm(R+h)2=m(2T)2(R+h)且GM=g0R2解得：h=3g0R2T242-R(3)由v=2T(R+h)解得：v=2T3g0R2T242=32g0R2T变式1我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星，可为中低轨道卫星提供数据通讯，如图为“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b、地球的位置关系示意图，O为地心，地球相对卫星a、b的张角分别为1和2(2图中未标出)，卫星a的轨道半径是b的4倍，己知卫星a、b绕地球同向运行，卫星a的周期为T，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a通讯的盲区，卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略。求：（1）卫星b星的周期（2）卫星b每次在盲区运行的时间分析与解答：(1)设卫星a、b的轨道半径分别为r1和r2地球半径为R：GMmr2=m42T2r可得：T=2r3GM而r1=4r2则得卫星b星的周期为T8(2)如图，A、B是卫星盲区两个边缘位置由几何知识可得AOB=1+2，则(2T8-2T)t=AOB=1+2解得，b每次在盲区运行的时间为t=1+214T变式2地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为T，引力常量为G，求：（1）地球的质量M；（2）同步卫星距离地面的高度h。分析与解答：（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=GMmR2解得地球质量为：M=gR2G；（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：GMm(R+h)2=m(2T)2（R+h）解得：h=3R2gT242-R；变式3一颗人造卫星的质量为m，离地面的高度为h，卫星做匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g求：（1）卫星受到的向心力的大小表达式（2）卫星的速率大小表达式分析与解答：（1）卫星绕地球做圆周运动靠万有引力提供向心力，根据万有引力定律得：F=GMmR+h2根据地球表面物体万有引力等于重力得：GMmR2=mg联立求解得：F=mgR2R+h2（2）根据万有引力提供向心力，GMmR+h2=mv2R+h联立求解得：v=gR2R+h（3）根据万有引力提供向心力，GMmR2=mv2R可得第一宇宙速度：v=gR经典例题宇宙中二颗相距较近的天体称为双星，他们以中心连线上的某一点位圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力而吸引到一起，设二者之间的距离为L，质量分别为M1和M2。（万有引力常量为G）求(1)它们的轨道半径之比r1 ：r2(2)线速度之比v1 ：v2(3)运行周期T。分析与解答：（1）两天体做圆周运动靠相互间的万有引力提供向心力，角速度相等，结合牛顿第二定律求出半径的大小；（2）根据v=r求线速度之比；（3）结合万有引力提供向心力求出运动的周期（1）对M1有：GM1M2L2=M1r12对M2有：GM1M2L2=M2r22解得：M1r1=M2r2即r1r2=M2M1，又r1+r2=L解得：r1=M2M1+M2L（2）根据v=r，可得线速度之比为v1v2=r1r2=M2M1（3）根据GM1M2L2=M1r142T2，又r1=M2M1+M2L解得：T=2L3GM1+M2变式1我们将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L，质量分别为M1、M2(万有引力常量为G)试计算：(1)双星的轨道半径(2)双星运动的周期。分析与解答：设行星转动的角速度为，周期为T。(1)如图，对星球M1，由向心力公式可得：GM1M2L2=M1R12同理对星M2，有：GM1M2L2=M2R22两式相除得：R1R2=M2M1，(即轨道半径与质量成反比)又因为L=R1+R2所以得：R1=M2M1+M2L，R2=M1M1+M2L(2)有上式得到：=1LG(M1+M2)L因为T=2，所以有：T=2LLG(M1+M2)变式2如图所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动已知A、B星球质量分别为mA、mB，万有引力常量为G.求L3T2(其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期)分析与解答：两个星球均做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有GmAmBL2=mA42T2rAGmAmBL2=mB42T2rB其中LrA+rB，联立解得L3T2=GmA+mB42。变式3天文学中把两颗距离比较近，又与其它星体距离比较远的星体叫做双星，双星的间距是一定的.设双星的质量分别是m1、m2，星球球心间距为L.问：(1)两星的轨道半径各多大？(2)两星的速度各多大？分析与解答：（1）由于双星做匀速圆周运动，且角速度相同，对m1由：Gm1m2L2=m12r1对m2由：Gm1m2L2=m22r2由两式得：r1r2=m2m1又r1+r2=L解得：r1=m2m1+m2L；r2=m1m1+m2L（2）联立以上式子得：=Gm2L2r1解得：v1=r1=Gm2r1L2=m2GL(m1+m2)同理得=Gm1L2r2解得：v2=r2=Gm1r2L2=m1GL(m1+m2)
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