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考点测试27平面向量的数量积及应用高考概览考纲研读1理解平面向量数量积的含义及其几何意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系一、基础小题1已知向量a(2，1)，b(m,1)，mR，若ab，则m的值为()A B C2 D2答案A解析由ab，得ab0，即2m10，则m故选A2在边长为1的等边三角形ABC中，设a，b，c，则abbcca()A B0 C D3答案A解析依题意有abbcca111111故选A3在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16 B8 C8 D16答案D解析因为cosA，故|cosA|216故选D4已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，则ab为()A12 B8 C8 D2答案A解析|a|cosa，b4，|b|3，ab|a|b|cosa，b3412故选A5平面四边形ABCD中，0，()0，则四边形ABCD是()A矩形 B正方形 C菱形 D梯形答案C解析因为0，所以，所以四边形ABCD是平行四边形又()0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形故选C6已知向量a(2,7)，b(x，3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为()Ax BxCx Dx且x答案D解析由ab2x210，得x当a与b共线时，则x故x的取值范围为x且x故选D7(xx大庆质检一)若e1，e2是夹角为60的两个单位向量，则向量ae1e2，be12e2的夹角为()A30 B60 C90 D120答案B解析依题意，有e1e2cos60，则cosa，b，故a，b60，故选B8已知在直角三角形ABC中，ACB90，ACBC2，点P是斜边AB上的中点，则_答案4解析由题意可建立如图所示的坐标系可得A(2,0)，B(0,2)，P(1，1)，C(0,0)，则(1,1)(0,2)(1,1)(2,0)224二、高考小题9(xx全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4 B3 C2 D0答案B解析因为a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213故选B10(xx天津高考)在如图的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为()A15 B9 C6 D0答案C解析解法一：连接OA333()3()3()，3()3(|2)3(21cos12012)3(2)6故选C解法二：在ABC中，不妨设A90，取特殊情况ONAC，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为MON120，ON2，OM1，所以O2，C0，M，0，B，0故，6故选C11(xx浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A1 B1 C2 D2答案A解析设a，b，e，以O为原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则E(1,0)不妨设A点在第一象限，a与e的夹角为，点A在从原点出发，倾斜角为，且在第一象限内的射线上设B(x，y)，由b24eb30，得x2y24x30，即(x2)2y21，即点B在圆(x2)2y21上运动而ab，|ab|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心(2,0)到射线yx(x0)的距离减去圆的半径，所以|ab|min1故选A12(xx全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 B C D1答案B解析解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有2，则()22()()2(22)而22，当P与E重合时，2有最小值0，故此时()取最小值，最小值为222故选B解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D，()22(1x，y)x，y2(x1)xyy2x2y2因此，当x，y时，()取得最小值，为2故选B13(xx山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_答案解析由题意不妨设e1(1,0)，e2(0,1)，则e1e2(，1)，e1e2(1，)根据向量的夹角公式得cos60，所以，解得14(xx上海高考)在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(2,0)，E，F是y轴上的两个动点，且|2，则的最小值为_答案3解析设E(0，m)，F(0，n)，又A(1,0)，B(2,0)，(1，m)，(2，n)2mn，又知|2，|mn|2当mn2时，mn2(n2)n2n22n2(n1)23当n1，即E的坐标为(0,1)，F的坐标为(0，1)时，取得最小值3当mn2时，mn2(n2)n2n22n2(n1)23当n1，即E的坐标为(0，1)，F的坐标为(0,1)时，取得最小值3综上可知，的最小值为3三、模拟小题15(xx惠州一模)若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案A解析因为()(2)0，即()0，()()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故选A16(xx唐山期末)在平行四边形ABCD中，已知AB5，AD3，|4，则()A5 B9 C12 D16答案B解析如图，因为，所以|4又AB5，AD3，所以ADBD所以|cos，539故选B17(xx郑州质检三)在ABC中，已知ADAB，3，|1，则()A1 B2 C3 D4答案D解析如图，过点C作CEAD交AD的延长线于点E，则ABCE由3，得3，从而4由数量积的几何意义，知44，故选D18(xx石家庄质检二)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A B C D答案D解析由|ab|ab|两边平方得ab0再由|ab|2|b|两边平方得|a|b|从而有cosab，a，所以ab，a，故选D19(xx衡阳二模)如图，在正方形ABCD中，已知AB2，E为BC的中点，F为CD的中点，则的值是_答案0解析解法一：2202200解法二：因为在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，所以ABEBCF，故EABFBC，从而AEBF，故020(xx太原三模)已知a，b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值是_答案1解析因为a，b是单位向量，ab0，设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则cab(x1，y1)，所以|cab|1，即(x1)2(y1)21，所以向量c的模|c|表示圆(x1)2(y1)21上的动点与原点的距离，最大值为11一、高考大题1(xx江苏高考)已知向量a(cosx，sinx)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)因为a(cosx，sinx)，b(3，)，ab，所以cosx3sinx若cosx0，则sinx0，与sin2xcos2x1矛盾，故cosx0，于是tanx又x0，所以x(2)f(x)ab(cosx，sinx)(3，)3cosxsinx2cosx因为x0，所以x，从而1cosx于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值22(xx广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sinx，cosx)，x(1)若mn，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)mn，mn0，故sinxcosx0，tanx1(2)m与n的夹角为，cosm，n，故sin又x，x，x，即x，故x的值为二、模拟大题3(xx江西南昌三校联考)已知A，B，C是ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m(，cosA1)，n(sinA，1)，mn(1)求角A的大小；(2)若a2，cosB，求b的值解(1)mn，mnsinA(cosA1)(1)0，sinAcosA1，sinA0A，A0，|ab|2cosx(2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx122x，cosx1，当cosx时，f(x)取得最小值；当cosx1时，f(x)取得最大值1
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