2019届高三数学第一次模拟考试试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学第一次模拟考试试卷 理(含解析)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意，则，故选A2.若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意，故，故复数的虚部为，故选B3.为了检验设备与设备的生产效率，研究人员作出统计，得到如下表所示的结果，则（ ）设备设备生产出的合格产品4843生产出的不合格产品27附：PK2k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.A. 有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性B. 没有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性D. 不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性【答案】A【解析】将表中的数据代入公式，计算得K2=100(487243)250509193.053，3.0532.706，有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性，故选A4.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线3x5y=0上，则tan+sin(72+2)=A. 1785B. 1785C. 1185D. 1185【答案】C【解析】角的终边在直线3x5y=0，即y=35x上，则tan=35,sin(72+2)=sin(32+2) =cos2=sin2cos2sin2+cos2=tan21tan2+1=817，故tan+sin(72+2)=35817=1185，故选C5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组合而成的，故所求表面积为S=12+12+12223+34(22)2=3+6+23，故选B6.为了计算满足i=1n1i10000的最大正整数n，设置了如下图所示的程序框图，若判断框中填写的是“S10000?”，则输出框中应填（ ）A. 输出B. 输出i+1C. 输出i1D. 输出i2【答案】D【解析】由程序框图可知，当首次满足S10000时，已经多执行一次“i=i+1”，之后又执行一次“i=i+1”，故输出框中应填写“输出i2”，故选D7.已知实数x,y满足约束条件x+2yx10x+y7，则z=y2x+2的取值范围为A. 13,1B. 13,43C. 13,2D. 43,2【答案】B【解析】作出不等式组x+2yx10x+y7表示的平面区域，如图中阴影部分所示（含边界）. z=y2x+2的几何意义为平面区域内的点(x,y)与点D(2,2)连线的斜率.观察可知，kADy2x+2kCD，因为A(1,3),C(1,6)，所以kAD=13,kCD=43，则13z43，故选B8.函数f(x)=x22x32x的大致图象为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由f(x)=x22x32x=0，得x22x3=0，解得x1=1，x2=3.故函数f(x)的图象与x轴的两个交点坐标为(1,0)，(3,0)，排除B、D又f(0)=320=30时，xf(x)+x2f(x)1=0，f(e)=1e.若函数g(x)=|f(x)|m有6个零点，则实数m的取值范围是（ ）A. (0,1e)B. (0,1)C. (1e,1)D. (1,+)【答案】A【解析】依题意，当x0时，xf(x)+x2f(x)1=0，则f(x)+xf(x)=1x，即xf(x)=1x，故xf(x)=lnx+c（为常数），因为f(e)=1e，所以c=0，故f(x)=lnxx.此时f(x)=1lnxx2，所以当x(0,e)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(e,+)时，f(x)0)的焦点为F，且F到准线的距离为2，直线l1:xmy5=0与抛物线C交于P,Q两点（点P在x轴上方），与准线交于点R，若|QF|=3，则SQRFSPRF=A. 57B. 37C. 67D. 97【答案】C【解析】设P(x1,y1),Q(x2,y2)，易知y10,y20,b0)，由题意得ca=5a2+b2=c24a212b2=1，解得a2=1,b2=4，则双曲线C的方程为x2y24=1.作直线y=m(0m6)，交双曲线C于点E，交渐近线于点D，交y轴于点P.则D(m2,m),E(1+m24,m)，|PE|2|PD|2=1+m24m24=1，|PE|2|PD|2 =.根据祖暅原理，可得该几何体与底面积为、高为6的柱体体积相等，故所求体积为6.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列an满足S9=117，a7=19，数列bn满足i=1n2i1bi=n.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）求数列1anan+1+bn的前n项和.【答案】（1）an=3n2，bn=12n1；（2）n3n+1+212n1【解析】（1）依题意，S9=117，即9a5=117，所以a5=13，则d=a7-a52=3，故an=a7+(n-7)d=19+(n-7)3=3n-2.因为i=1n2i-1bi=n，所以b1+2b2+4b3+2n-1bn=n，当n2时，b1+2b2+4b3+2n-2bn-1=n-1，-得2n-1bn=1，即bn=12n-1.当n=1时，b1=1满足上式.数列bn的通项公式为bn=12n-1.（2）由（1）知，1anan+1=1(3n-2)(3n+1)=13(13n-2-13n+1)，bn=12n-1， 记数列1anan+1的前n项和为Sn，bn的前n项和为Tn，则Sn=13(1-14+14-17+13n-2-13n+1)=n3n+1，Tn=1+12+122+12n-1=2-12n-1，故数列1anan+1+bn的前n项和为Sn+Tn=n3n+1+2-12n-1.18.为了了解某市高三学生的身体情况，某健康研究协会对该市高三学生组织了两次体测，其中第一次体测的成绩（满分：100分）的频率分布直方图如下图所示，第二次体测的成绩XN(65,2.52).（）试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低；（）若该市有高三学生xx0人，记体测成绩在70分以上的同学的身体素质为优秀，假设这xx0人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数；（）以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取4人，记这4人成绩在60,80)的人数为，求的分布列及数学期望.附：P(X+)=0.6826，P(2X+2)=0.9544，P(365，第一次体测成绩的平均分高于第二次体测成绩的平均分.（）因为XN(65,2.52)，所以P(X70)=1-P(60X70)2 =1-P-2X+22=0.0228，故所求人数大约为200000.0228=456.（）依题意，(0.025+0.035)10=0.6=35，的可能取值为0，1，2，3，4，B(4,35).P(=0)=(25)4=16625，P(=1)=C41(35)(25)3=96625，P(=2)=C42(35)2(25)2=216625，P(=3)=C43(35)325=216625，P(=4)=(35)4=81625.故的分布列为：01234P166259662521662521662581625E=435=125.【点睛】本题考查平均数、频数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、正态分布、二项分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.如图所示，四棱锥SABCD中， SA=SD=22AD,BC=CD=12AB，CDAB，ABC=90，二面角SADB的大小为90.（1）求证：SABD；（2）在线段SB上找一点E，使得二面角EADS的大小为45.【答案】（1）见解析；（2）点E是SB上靠近点S的三等分点【解析】（1）由题意得SA=SD=BC=CD，不妨设SA=2，则BC=CD=2，所以BD=2，而AD=2，AB=22，所以AD2+BD2=AB2，则BDAD.因为二面角S-AD-B的大小为90，且平面SAD平面ADB=AD，BD平面ADB，所以BD平面SAD，而SA平面SAD，所以SABD.（2）因为二面角S-AD-B的大小为90，交线是AD，所以以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过D作平面ABCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系由（1）知DA=2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，S(1,0,1)，BS=(1,-2,1)设BE=BS(01)，则DE=DB+BE=(0,2,0)+(1,-2,1)=(,2-2,) 设n1=(x,y,z)是平面ADE的法向量，则n1DE=0n1DA=0，即x+(2-2)y+z=02x=0，取y=，得x=0y=z=2-2，n1=(0,2-2)是平面ADE的一个法向量易知平面ASD的一个法向量是n2=(0,1,0) 依题意|cosn1,n2|=22，即2+(2-2)2=22，解方程得=23或=2，又因为0b0)过点(1,63)，离心率为63.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线y=k(x1)与椭圆C交于P,Q两点，且N(3,2)，设kPN,kQN分别是直线PN,QN的斜率，试探究kPN+kQN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）x23+y2=1；（2）定值2【解析】（1）将(1,-63)代入椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)中，得1a2+23b2=1，又ca=63，a2=b2+c2，解得a=3,b=1，故椭圆C的标准方程为x23+y2=1.（2）将y=k(x-1)代入x23+y2=1，整理化简，得(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0，直线y=k(x-1)与椭圆C交于P,Q两点，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=6k23k2+1，x1x2=3k2-33k2+1. 又y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，所以kPN+kQN=2-y13-x1+2-y23-x2 =(2-y1)(3-x2)+(2-y2)(3-x1)(3-x1)(3-x2)=2-k(x1-1)(3-x2)+2-k(x2-1)(3-x1)9-3(x1+x2)+x1x2 =12-2(x1+x2)+k2x1x2-4(x1+x2)+69-3(x1+x2)+x1x2=12-26k23k2+1+k23k2-33k2+1-46k23k2+1+69-36k23k2+1+3k2-33k2+1 =12(2k2+1)6(2k2+1)=2.故kPN+kQN为定值2.21.已知函数f(x)=ax1x(a+1)lnx.（）当a0时，判断函数f(x)的单调性；（）当a=2时，证明：2exe52f(x)+2x.（e为自然对数的底数）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=a+1x2-a+1x=ax2-(a+1)x+1x2=(ax-1)(x-1)x2.当a=0时，f(x)=-(x-1)x2.当0x0，函数f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减. 当0a1.当0x0，函数f(x)单调递增；当1x1a时，f(x)1a时，f(x)0，函数f(x)单调递增. 当a=1时，1a=1.易知f(x)0恒成立，函数f(x)在(0,+)上单调递增； 当a1时，01a1.当0x0，函数f(x)单调递增；当1ax1时，f(x)1时，f(x)0，函数f(x)单调递增. 综上，当a1时，函数f(x)在(0,1a)和(1,+)上单调递增，在(1a,1)上单调递减；当a=1时，函数f(x)在(0,+)上单调递增；当0a0.记g(x)=2ex-e52(lnx-1x)，则g(x)=2ex-e52(1x+1x2).显然g(x)在(0,+)上单调递增，且g(1)=2e1-e52(1+1)=2(e-e52)0.所以g(x)在(0,+)上有唯一的零点，且t(1,2).所以当x(0,t)时，g(x)0，函数g(x)单调递增. 由g(t)=0，即2et-e52(1t+1t2)=0，得2et=e52(1t+1t2)，所以g(x)g(t)=2et-e52(lnt-1t)=e52(1t+1t2)-e52(lnt-1t) =e52(2t+1t2-lnt)，而易知函数y=2t+1t2-lnt在(1,2)上单调递减，所以2t+1t2-lnt22+14-ln2=54-ln20，所以e52(2t+1t2-lnt)0.所以g(x)0，即2exe52f(x)+2x.请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为x=4t1y=3t32（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为2=22sin(4).（）求直线的普通方程以及圆C的直角坐标方程；（）若点P在直线上，过点P作圆C的切线PQ，求|PQ|的最小值.【答案】（1）3x4y3=0，(x+1)2+(y1)2=2；（2）2.【解析】（1）由直线的参数方程消去参数，得y=3x+14-32，即3x-4y-3=0.所以直线的普通方程为3x-4y-3=0.圆C的极坐标方程为2=22sin(-4)，即2=2sin-2cos，将极坐标方程与直角坐标方程的转化公式x=cosy=sinx2+y2=2代入上式可得x2+y2+2x-2y=0，即(x+1)2+(y-1)2=2，此为圆C的直角坐标方程. （2）由（1）可知圆C的圆心为C(-1,1)，半径r=2，所以|PQ|=|PC|2-r2=|PC|2-2，而|PC|的最小值为圆心C到直线的距离d=|3(-1)-41-3|32+(-4)2=2.所以|PQ|的最小值为d2-2=2.选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=2|x|+|x3|.（）解关于x的不等式f(x)4；（）若对于任意的xR，不等式f(x)t22t恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）(13,1)；（2）1，3【解析】（1）当x0时，不等式可化为-2x-(x-3)-13，故-13x0； 当0x3时，不等式可化为2x-(x-3)4，解得x1，故0x1； 当x3时，不等式可化为2x+(x-3)4，解得x73.显然与x3矛盾，故此时不等式无解.综上，不等式f(x)4的解集为(-13,1).（2）由（1）知，f(x)=-3x+3,x0x+3,0x33x-3,x3.作出函数f(x)的图象，如图，显然f(x)f(0)=3.故由不等式f(x)t2-2t恒成立可得t2-2t3，解得-1t3.所以的取值范围为-1,3.