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第六章几个典型的代数系统,第一节半群与群,内容：半群，群，子群。,重点：1、半群，可交换半群，独异点的定义，,2、群，交换群(阿贝尔群)的定义及性质，,3、群的阶的定义，,4、循环群，生成元的定义及例子，,5、子群的定义及判定。,一、半群。,一、半群。,可交换半群,2、独异点(含幺半群)：,记作,4、子半群。,半群的子代数叫子半群，,独异点的子代数叫子独异点。,二、群。,1、定义。,结合律，,有幺元，,任意元有逆元，,没有幺元，,除0外，其余元素都没有逆元。,为幺元，,，,0为幺元，,，,3、群的阶。,四元群的阶为4。,有关幂的两个公式：,6、群的性质。,6、群的性质。,(4)幺元是群中唯一的幂等元。,不同行(列)的排列不同。,故,，,(2)再证结论成立。,三、子群。,1、定义：,三、子群。,1、定义：,有5个子群：,其余均为真子群。,2、判定。,定理：,3、生成子群，中心。,(1)生成子群：,，,，,。,3、生成子群，中心。,(2)中心：,四、循环群。,1、定义：,循环群都是阿贝尔群。,循环群的子群都是循环群。,2、循环群的典型例子。,即,1阶子群,2阶子群,3阶子群,4阶子群,6阶子群,12阶子群,第二节环与域,内容：环，域。,了解：环与域的定义及例子。,一、环。,定义：,是环。,二、域。,定义：,第三节格与布尔代数,内容：格，格的性质，布尔代数。,重点：格与布尔代数的有关概念及例子。,一、格的概念。,定义：,的最小公倍数,的最大公约数,如：,，,二、格的性质。,2、性质：,(1)交换律,，,(2)结合律,，,(3)幂等律,，,(4)吸收律,，,三、分配格，有界格，有补格。,1、分配格满足分配律的格。,2、有界格有全上界，全下界的格。,全上界记为1，全下界记为0，有界格也记为,三、分配格，有界格，有补格。,4、有补分配格有补格且是分配格。,是有补格，,是有补格，,例4、判断下图中所表示的格是否有补格。,不是有补格,是有补格,是有补格,5、有补分配格中任意元素的补元是唯一的。,四、布尔代数。,2、性质。,3、有限布尔代数的表示定理。,第六章小结与例题,一、半群与群。,1、基本概念。,2、运用。,(1)判断一个代数系统是否为半群，独异点，群。,一、半群与群。,1、基本概念。,2、运用。,(3)求一个群的所有子群。,二、环与域。,基本概念：环；域。,三、格与布尔代数。,1、基本概念。,格；分配格，有界格，有补格；布尔代数。,判断一个代数系统是否为格，布尔代数。,2、运用。,例2、设,是半群，且,，,求证：,。,例3、举两个是独异点，但不是群的例子。,例3、举两个是独异点，但不是群的例子。,但无幺元，不是独异点。,幺元是1，是独异点，,但0无逆元，不是群。,证明：(1)证结合律成立。,，有,，有,例6、设,是一个群，,，定义,，,，,证明,也是一个群。,证明：,例7、右图所示的格,，问,解：因为,即,例7、右图所示的格,，问,不是有补格。,