高阶线性微分方程.ppt

第七章高阶线性微分方程,一.二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,设时刻t物位移为x(t).,(1)自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,建立位移满足的微分方程.,机动目录上页下页返回结束,阻力,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,(2)强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,机动目录上页下页返回结束,n阶线性微分方程的一般形式为,为二阶线性微分方程.,具有如下形式的方程:,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,机动目录上页下页返回结束,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),机动目录上页下页返回结束,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,机动目录上页下页返回结束,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,机动目录上页下页返回结束,线性无关判别法：,在区间I上线性无关,两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,线性无关,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,是n阶齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,结论：,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,X(t)是相应齐次方程的通解,则,是非齐次方程的通解.,这是因为：,代入方程,得,复习目录上页下页返回结束,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程解的叠加原理),上述均可推广到n阶线性非齐次方程.,机动目录上页下页返回结束,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),(89考研),机动目录上页下页返回结束,例.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,机动目录上页下页返回结束,四.二阶常系数线性齐次微分方程:,代入得,称为微分方程的特征方程,令方程的解为,其根称为特征根.,机动目录上页下页返回结束,例.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,1.当,时,特征方程有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,则微分,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(t)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取u=t,则得,因此原方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,例.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,机动目录上页下页返回结束,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,例.,解:特征方程:,特征根为,则方程通解:,机动目录上页下页返回结束,二阶常系数齐次线性微分方程:,称为微分方程的特征方程,1.当特征方程有两个相异实根,方程的通解为,其根称为特征根.,2.当特征方程有两个相等实根,方程的通解为,3.当特征方程有一对共轭复根,方程的通解为,若特征方程含k重复根,若特征方程含k重实根,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,机动目录上页下页返回结束,例.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,推广目录上页下页返回结束,例.,解:特征方程:,特征根为,则方程通解:,机动目录上页下页返回结束,例.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,五.二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据F(t)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,机动目录上页下页返回结束,1、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,(1)若不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为m次多项式.,Z(x)为m次待定系数多项式,机动目录上页下页返回结束,(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为,(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为,推广：,对n阶方程,即,即,当是特征方程的k重根时,可设,特解,机动目录上页下页返回结束,例.,的一个特解.,解:,不是特征方程为,的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,机动目录上页下页返回结束,例.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,机动目录上页下页返回结束,例.求解定解问题,解:本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,机动目录上页下页返回结束,于是所求解为,解得,机动目录上页下页返回结束,（为实数,为m次多项式）,1.若不是特征方程的根,特解,形式为,2.若是特征方程的单根,特解形式为,3.若是特征方程的重根,特解形式为,推广：,对n阶方程,当是特征方程的k重根时,可设,特解,为复数,为m次多项式）,对n阶方程,当是特征方程的k重复根时,特解,第一步,利用欧拉公式,机动目录上页下页返回结束,2、,第二步问题转化为求如下两方程的特解,是特征方程的k重根(k=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程的特解.,设,则有,特解:,机动目录上页下页返回结束,第三步求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为m次多项式.,机动目录上页下页返回结束,均为m次多项式.,机动目录上页下页返回结束,是特征方程的k重根(k=0,1),设,则,例.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,机动目录上页下页返回结束,例.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,机动目录上页下页返回结束,例.,解:(1)特征方程,有二重根,而恰好=0，=1，所以设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,机动目录上页下页返回结束,解:,特征方程,有根,于是设原非齐次方程特解为,机动目录上页下页返回结束,对于,，=0，设方程特解为,对于,，=1，设方程特解为,对于,，=0，=1，设方程特解为,机动目录上页下页返回结束,六.欧拉方程,常系数线性微分方程,欧拉方程的解法:,则,机动目录上页下页返回结束,欧拉方程转化为常系数线性方程:,例.,解:,则原方程化为,根,对应的齐次方程的通解为,特征方程,机动目录上页下页返回结束,通解为,换回原变量,得原方程通解为,设特解:,代入确定系数,得,机动目录上页下页返回结束,例.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,特征根:,设特解:,代入解得A=1,所求通解为,机动目录上页下页返回结束,例.,解:等号两边对x求导，得定解问题,则方程化为,特征根:,设特解:,代入得A1,机动目录上页下页返回结束,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,机动目录上页下页返回结束,思考:如何解下述微分方程,提示:,原方程,直接令,第11节目录上页下页返回结束,二阶常系数齐次线性微分方程:,称为微分方程的特征方程,1.当特征方程有两个相异实根,方程的通解为,其根称为特征根.,2.当特征方程有两个相等实根,方程的通解为,3.当特征方程有一对共轭复根,方程的通解为,复习：,（为实数,为m次多项式）,1.若不是特征方程的根,特解,形式为,2.若是特征方程的单根,特解形式为,3.若是特征方程的重根,特解形式为,推广：,对n阶方程,当是特征方程的k重根时,可设,特解,均为m次多项式.,机动目录上页下页返回结束,是特征方程的k重根(k=0,1),设,则,例.,解:,位移x(t)满足,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设t=0时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,因此定解问题为,自由振动方程,机动目录上页下页返回结束,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,(2)强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,机动目录上页下页返回结束,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,1)无阻尼自由振动情况(n=0),机动目录上页下页返回结束,解的特征:,简谐振动,A:振幅,:初相,周期:,固有频率,机动目录上页下页返回结束,(仅由系统特性确定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼:nk,临界阻尼:n=k,机动目录上页下页返回结束,(nk),大阻尼解的特征:,1)无振荡现象;,2)对任何初始条件,即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.,机动目录上页下页返回结束,(n=k),临界阻尼解的特征:,任意常数由初始条件定,最多只与t轴交于一点;,即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.,2)无振荡现象;,机动目录上页下页返回结束,求物体的运动规律.,解:问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当pk时,齐次通解:,非齐次特解形式:,因此原方程之解为,若设物体只受弹性恢复力f,和铅直干扰力,代入可得:,机动目录上页下页返回结束,当干扰力的角频率p固有频率k时,自由振动,强迫振动,当p=k时,非齐次特解形式:,代入可得:,方程的解为,机动目录上页下页返回结束,若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使,随着t的增大,强迫振动的振幅,这时产生共振现象.,可无限增大,若要避免共振现象,应使p远离固有频率k;,p=k.,自由振动,强迫振动,对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有,利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.,机动目录上页下页返回结束,