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,第六节,Green公式,Gauss公式,推广,一、高斯公式,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,*三、通量与散度,高斯公式*通量与散度,第十一章,一、高斯(Gauss)公式,定理1,上有连续的一阶偏导数,下面先证:,函数P,Q,R在,面所围成,则有,(Gauss公式),高斯,的方向取外侧,设空间闭区域由分片光滑的闭曲,证明,称为XY-型区域,则,定理1,设,所以,若不是XY型区域,则可引进辅助面,将其分割成若干个XY型区域,故上式仍成立.,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加,即得所证Gauss公式：,定理1,例1,其中为柱面,闭域的整个边界曲面的外侧.,解,利用Gauss公式,得,原式=,及平面z=0,z=3所围空间,思考:,若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?,利用质心公式,注意,用Gauss公式计算,这里,若改为内侧,结果有何变化?,例2,其中为锥面,解,取上侧,介于z=0及z=h,之间部分的下侧,为法向量的方向角.,所围区域为,则,利用Gauss公式计算积分,作辅助面,利用质心公式,注意,思考:,提示:,介于平面z=0及z=2,之间部分的下侧.,先二后一,计算曲面积分,作取上侧的辅助面,例3,设为曲面,取上侧,求,解,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,在闭区域上具有一阶,和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式,例4,其中是整个边界面的外侧.,注意:,高斯公式,设函数,证,由高斯公式得,移项即得所证公式.,令,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,1.连通区域的类型,设有空间区域G,若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G,为空间二维单连通域;,若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面,则称G为,例如,球面所围区域,环面所围区域,立方体中挖去一个小球所成的区域,不是二维单连通区域.,既是一维也是二维单连通区域;,是二维但不是一维单连通区域;,是一维但,空间一维单连通域.,2.闭曲面积分为零的充要条件,定理2,在空间二维单,连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则,证,根据高斯公式可知是的充分条件.,的充要条件是:,“必要性”.用反证法.,已知成立,“充分性”.,因P,Q,R在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域,则由,与矛盾,故假设不真.,因此条件是必要的.,取外侧,高斯公式,得,*三、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系,流量还可表示为,若为方向向外的闭曲面,当0时,说明流入的流体质量少于,当0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为,当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.,流出的,表明内有泉;,表明,内有洞;,根据高斯公式,流量也可表为,方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且,为了揭示场内任意点M处的特性,在式两边同除以的体积V,并令以,任意方式缩小至点M,则有,此式反应了流速场在点M的特点:,其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.,定义,设有向量场,其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向,则称,曲面,在场中点M(x,y,z)处,divergence,显然,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如,匀速场,故它是无源场.,说明:,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且,散度意义,例5,解,穿过曲面流向上侧的通量,其中为柱面,被平面,截下的,有限部分.,则上侧的法向量为,在上,故所求通量为,求向量场,记,内容小结,1.高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1)计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:,2.*通量与散度,设向量场,P,Q,R,在域G内有一阶连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面的通量为,G内任意点处的散度为,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2),为,补充题,所围立体的体,是外法线向量与点(x,y,z)的向径,试证,证,则,的夹角,积为V,设是一光滑闭曲面,设的单位外法向量为,高斯(17771855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,
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