九年级数学 第12讲 几何问题探究-其它类型问题教案.doc

几何问题探究其它类型问题知识点相似三角形的性质与判定；相似三角形的综合；三角函数；教学目标熟练掌握图形相似的证明方法；教学重点能够灵活的运用图形的性质去证明与三角函数、角等相关问题；教学难点灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究与三角函数、角等相关问题；教学过程一、课堂导入几何在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的探究问题占到20%到30%的比重。主要考查了图形的一些基本性质，借助图形的变换（平移变换、旋转变换、轴对称变换、相似变换）进行线段和角的一些相关问题的探讨，主要考查了学生的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力。解决几何综合问题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧“模型间的关联，明确努力方向，才能进一步探究综合问题。注重对基本模型及辅助线的积累是非常必要的。二、复习预习相似三角形的概念及性质1. 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例注： 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的 两个三角形形状一样，但大小不一定一样 全等三角形是相似比为1的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例2. 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等三、知识讲解考点1 两条线段之间的数量关系在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD或AB=CD等。在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下：1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=b；2.利用等腰三角形证明a=b；3.利用含30角的直角三角形证明a=b等；考点2 两条线段之间的位置关系 在位置关系猜想中，两条线段是垂直关系还是平行关系一目了然，关键是如何证明，方法如下：1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。考点3 相似三角形的判定定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1：两角对应相等，两三角形相似判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似考点4 锐角三角函数的定义、表达式及关系四、例题精析例1 如图1，ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE；（1）图1中是否存在与BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）求证BE=EC；（3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE”，其他条件不变（如图2）；当AB=1，ABC=a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）；例2已知：如图1所示，RtABC与RtADE中，ACB=AED=90，AC=k BC，AE=k DE，点O为线段BD的中点，探索COE、ADE之间有怎样的数量关系，证明你的结论。说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）和（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为4分。（1） 点E在CA延长线上（图2）；（2） K=1，点E在CA延长线上（图3）；例3如图1，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD（1）猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，ACB=90，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值例4在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1，旋转角为（090），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P；（1）如图1，若四边形ABCD是正方形；求证AOC1BOD1；请直接写出AC1 与BD1的位置关系；（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=k BD1；判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值；（3） 如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1；请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值；课程小结本节课主要针对与三角函数相关问题、与角相关等几何问题进行了探究。若遇到与三角函数相关问题时，只需将所研究的角放入直角三角形中，由已知角确定相应的三角函数表示；若遇到与角相关问题时，只需通过全等变换或是相似变换得出角的结论，有时也需注意题干中所给的信息。几何问题的探究是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。例1【规范解答】（1）DCA=BDE；证明：AB=AC，DC=DE，ABC=ACB，DEC=DCE，BDE=DECDBC=DCEACB=DCA（2）过点E作EGAC，交AB于点G，如图1，则有DAC=DGE，在DCA和EDG中，DCAEDG（AAS）DA=EG，CA=DG，DG=AB，DA=BGAFEG，DF=EF，DA=AG，AG=BG，EGAC，BE=EC.（3）过点E作EGAC，交AB的延长线于点G，如图2，AB=AC，DC=DE，ABC=ACB，DEC=DCE，BDE=DBCDEC=ACBDCE=DCAACEG，DAC=DGE，在DCA和EDG中，DCAEDG（AAS）DA=EG，CA=DG，DG=AB=1，AFEG，ADFGDE，DF=kFE，DE=EFDF=（1k）EF，AD=，GE=AD=过点A作AHBC，垂足为H，如图2，AB=AC，AHBC，BH=CH，BC=2BH，AB=1，ABC=，BH=ABcosABH=cosBC=2cos，ACEG，ABCGBE，BE=，BE的长为【总结与反思】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题；（2）过点E作EGAC，交AB于点G，如图1，要证BE=CE，只需证BG=AG，由DF=FE可证到DA=AG，只需证到DA=BG即DG=AB，也即DG=AC即可；只需证明DCAEDG即可解决问题；（3）过点A作AHBC，垂足为H，如图2，可求出BC=2cos；过点E作EGAC，交AB的延长线于点G，易证DCAEDG，则有DA=EG，CA=DG=1；易证ADFGDE，则有；由DF=kFE可得DE=EFDF=（1k）EF；从而可以求得AD=，即GE=；易证ABCGBE，则有，从而可以求出BE例2【规范解答】证明：如图1，取AD、AB中点M、N，连接EM、MO、ON、CN，AD与EO相交于点F，则：EM=DM=MA，CN=AN=BN，AME=2ADE，ANC=2ABC，O为BD中点OM=AN=CN，OMAN，ON=AM=EM，ONAD，四边形ANOM为平行四边形，AMO=ANO，AFE=NOE，ACB=AED=90，AC=kBC，AE=kDE，RtABCRtADE，ADE=ABC，AME=ANC，EMO=ONC，EMOONC，NOC=MEO，AFE=AME+MEONOE=COE+NOC，COE=AME，COE=2ADE，选择条件（1）证明：延长EO交CB的延长线于点F，ACB=AED=90，EDCF，DEO=F，EDO=FBOO为BD中点，DO=BO，EDOFBO，ED=FB，EO=FO，ACB=90，CO=OF=EOF=OCF，COE=F+OCF=2F，AC=kBC，AE=kDE，CE=AC+AE，CF=BC+BF，EA：CE=ED：CF=1：（K+1），ACB=AED=90，EADCEF，ADE=F，COE=2ADE选择条件（2）证明：延长EO交CB的延长线于点FACB=AED=90AE=DE，EDCF，ADE=45，DEO=F，EDO=FBOO为BD中点，DO=BO，EDOFBO，ED=FB，EO=FO，AC=BC，AE=DE，CE=CFCOEF，COE=90，COE=2ADE【总结与反思】（1）取AD、AB中点M、N，连接EM、MO、ON、CN，AD与EO相交于点F，先证明RtABCRtADE，然后证明EMOONC即可证明；（2）延长EO交CB的延长线于点F，证明EDOFBO，ED=FB，EO=FO，由AC=BC，AE=DE，可得CE=CF，从而COEF，可得COE=90，可得COE=2ADE例3【规范解答】解：（1）BF=AD，BFAD；BF=AD，BFAD仍然成立，证明：ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC，四边形CDEF是正方形，CD=CF，FCD=90，ACB+ACF=FCD+ACF，即BCF=ACD，在BCF和ACD中，BCFACD（SAS），BF=AD，CBF=CAD，又BHC=AHO，CBH+BHC=90，CAD+AHO=90，AOH=90，BFAD；（2）证明：连接DF，四边形CDEF是矩形，FCD=90，又ACB=90，ACB=FCD，ACB+ACF=FCD+ACF，即BCF=ACD，AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BCFACD，CBF=CAD，又BHC=AHO，CBH+BHC=90，CAD+AHO=90，AOH=90，BFAD，BOD=AOB=90，BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，AB2=AC2+BC2=32+42=25，在RtFCD中，FCD=90，CD=，CF=1，BD2+AF2=【总结与反思】（1）证BCFACD推出CAD=FBC，BF=AD，即可得出结论；证BCFACD推出CAD=FBC，BF=AD，即可得出结论；（2）连接FD，根据（1）得出BOAD，根据勾股定理得出BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，推出BD2+AF2=AB2+DF2，即可求出答案例4【规范解答】（1）证明如图1，四边形ABCD是正方形，OC=OA=OD=OB，ACBD，AOB=COD=90，COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1，O C1=OC，O D1=OD，CO C1=DO D1，O C1=O D1，AO C1=BO D1=90+AOD1，在AO C1和BOD1中，AO C1BOD1（SAS）；AC1BD1；（2）AC1BD1理由如下如图2，四边形ABCD是菱形，OC=OA=AC，OD=OB=BD，ACBD，AOB=COD=90，COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1，O C1=OC，O D1=OD，CO C1=DO D1，O C1=OA，O D1=OB，AO C1=BO D1，AO C1BOD1，O AC1=OB D1，又AOB=90，O AB+ABP+OB D1=90，O AB+ABP+O AC1=90，APB=90AC1BD1；AO C1BOD1，=，k=；（3）如图3，与（2）一样可证明AO C1BOD1，=，k=；COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1，O D1=OD，而OD=OB，OD1=OB=OD，BDD1为直角三角形，在RtBDD1中，BD12+DD12=BD2=100，（2AC1）2+DD12=100，AC12+（kDD1）2=25【总结与反思】（1）如图1，根据正方形的性质得OC=OA=OD=OB，ACBD，则AOB=COD=90，再根据旋转的性质得O C1=OC，O D1=OD，CO C1=DO D1，则O C1=O D1，利用等角的补角相等得AO C1=BO D1，然后证明AO C1BOD1；由AOB=90，则O AB+ABP+OB D1=90，所以O AB+ABP+O AC1=90，则APB=90所以AC1BD1；（2）如图2，根据菱形的性质得OC=OA=AC，OD=OB=BD，ACBD，则AOB=COD=90，再根据旋转的性质得O C1=OC，O D1=OD，CO C1=DO D1，则O C1=OA，O D1=OB，利用等角的补角相等得AO C1=BO D1，加上，得到AO C1BOD1，得到O AC1=OB D1，由AOB=90得O AB+ABP+OB D1=90，则O AB+ABP+O AC1=90，则APB=90，所以AC1BD1；然后得到=，所以k=；（3）与（2）一样可证明AO C1BOD1，则=，所以k=；根据旋转的性质得O D1=OD，根据平行四边形的性质得OD=OB，则OD1=OB=OD，于是可判断BDD1为直角三角形，根据勾股定理得BD12+DD12=BD2=100，所以（2AC1）2+DD12=100，于是有AC12+（kDD1）2=25