2018年电大工程数学复习资料

电大复习资料工程数学网上教学活动文本 2012.12.15问题 1：现在是工程数学课程的教学时间，欢迎大家积极参与！今天活动的主题是：学期末复习考试指南。问题 2. 考试方式：半开卷，笔试问题 3. 考试题型：单选题：5 题，每题 3 分，共 15 分。 填空题：5 题，每题 3 分，共 15 分。 计算题：4 题，每题 16 分，共 64 分。 证明题：1 题，共 6 分。问题 4. 谈一谈本课程的考核形式.答：本课程的考核形式分为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为 100 分，60 分为及格。其中形成性考核成绩占考核成绩的 30%，期末考试成绩占考核成绩的 70%。形成性考核的内容及成绩的评定按中央广播电视大学人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册的规定执行。问题 5. 期末考试命题的依据是什么？答：工程数学（本）课程期末考试命题的依据考核说明，试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。问题 6. 期末考试的命题原则是什么？期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。问题 7. 考核要求有哪些？考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。考核内容分为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。一、线性代数部分1. 行列式考核知识点：行列式的递归定义、行列式的性质、克莱姆法则考核要求：知道 阶行列式的递归定义；掌握利用性质计算行列式的方法；知道克莱姆法n则。2. 矩阵考核知识点：矩阵的概念，零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上(下)三角矩阵，对称矩阵矩阵的加法，数乘矩阵，矩阵的乘法，矩阵的转置电大复习资料方阵乘积行列式定理 可逆矩阵与逆矩阵的定义、性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，初等矩阵，矩阵的初等行变换，逆矩阵的求法矩阵的秩的概念，矩阵的秩的求法分块矩阵及其运算，准对角矩阵考核要求：理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上(下)三角矩阵、对称矩阵的定义，了解初等矩阵的定义；熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算；掌握方阵乘积行列式定理；理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件；熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法；理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法； 会分块矩阵的运算。3. 线性方程组考核知识点：高斯消元法解线性方程组线性方程组的系数矩阵、增广矩阵线性方程组的相容性定理，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件维向量定义，线性组合、线性表出，向量组的线性相关性n极大线性无关组，向量组的秩齐次线性方程组解的性质、基础解系，非齐次线性方程组解的性质及解的结构考核要求：掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性相关性；会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法；理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性；熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法；了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。4. 矩阵的特征值及二次型考核知识点：矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，特征值与特征向量的求法矩阵相似的定义和性质正交矩阵的定义和性质二次型定义，二次型的矩阵表示，二次型的标准形，用配方法化二次型为标准形正定矩阵的概念，正定矩阵的判定考核要求：理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法；了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质；知道正交矩阵的定义和性质；理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形，掌握用配方法化二次型为标准形的方法；了解正定矩阵的概念，会判定矩阵的正定性。二、概率论与数理统计部分1. 随机事件与概率考核知识点：随机事件的概念，随机事件的关系与运算随机事件的概率，概率的基本性质，古典概型概率的加法公式，条件概率与乘法公式，事件的独立性，全概公式贝努里概型考核要求：电大复习资料了解随机事件、概率等概念；掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质；了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题；熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式；理解事件独立性概念；掌握贝努里概型。2. 随机变量的分布和数字特征考核知识点：随机变量的概念及分类，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量的分布函数，随机变量函数的分布数学期望、方差与标准差的概念，期望与方差的性质，随机变量函数的期望公式，矩的概念两点分布、二项分布、泊松分布和它们的数字特征，均匀分布、指数分布、正态分布和它们的数字特征二维随机变量的联合分布、边缘分布、独立性，二维随机变量的期望、方差与协方差的性质大数定律，中心极限定理考核要求：理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念；理解期望、方差与标准差等概念，掌握求期望、方差的方法；熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差；知道二维随机变量的概念，了解随机变量独立性概念；知道大数定律和中心极限定理。3. 数理统计基础考核知识点：总体与样本，样本函数与统计量，样本矩，抽样分布（ 分布， 分布， 分布）t2F点估计概念，期望与方差的点估计（矩法与最大似然法）无偏性与有效性置信区间与置信度，正态总体 与 的区间估计2假设检验的基本思想，两类错误，显著性水平方差已知的均值检验的 检验法，方差未知的均值检验的 检验法，方差的假设检验Ut的 检验法2一元线性回归的概念，最小二乘法，检验与预测考核要求：理解总体、样本、统计量的概念，知道 分布， 分布， 分布，会查 ， ，t2Ft2分布表；会参数的矩估计法，掌握参数的最大似然估计法；了解估计量的无偏性、F有效性的概念；了解区间估计的概念，熟练掌握求正态总体期望的置信区间的方法；知道假设检验的基本思想，熟练掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验；了解最小二乘法的基本思想，会求一元线性回归方程的方法和 检验。F问题 8.试题的难易程度如何？试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2 。问题 9. 谈一谈试题的类型.试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和电大复习资料推理过程；解答题包括计算题和证明题，求解解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为：单项选择题 15%，填空题 15%，解答题 70%（其中证明题 6%） 。期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为 100 分，考试时间为 90 分钟。问题 10. 单项选择题举例一、单项选择题设 为 阶矩阵，则下列等式成立的是（） BA,n(A) (B) BA)(C) (D) )(（B）正确，将 B 填入题中括号内。 （容易题）随机事件 相互独立的充分必要条件是（） A,(A) (B) )()(P)(APB(C) (D) 0B )()ABP（A）正确，将 A 填入题中括号内。 （中等题）问题 11. 填空题举例二、填空题若向量组的一个部分组线性相关，则此向量组线性。在横线上填写答案“相关” 。 （容易题）若样本 来自总体 ， ，则 nxx,21 )1,0(NXnix1。在横线上填写答案“ ”。 （中等题）)1,0(N问题 12.计算解答题举例三、解答题用配方法将二次型 化为标准型，并求出所32321321 657),( xxxf 作的满秩变换。解：32321321 657),( xxxf 22)(331xx令（*）3321,yyx电大复习资料即得23213217),( yyxf 由式解出 ，即得,321yx或写成3213210yx（中等题）（证明题）证明：线性无关向量组的任何部分组也是线性无关的证明：设 是一个线性无关的向量组，往证它的任何部分组也是线性无m,21关的，不妨证明 线性无关。反证，若 线性相关，则)(l l,21存在一组不全为零的数 ，使得lk,210lk21此时有0mll121 由定义知 线性相关，这与 线性无关矛盾。故m, ,2线性无关。证毕。 （较难题）l,21问题 13. 样卷举例一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1.设 为 阶矩阵，则下列等式成立的是（） BA,n(A) (B) BA(C) (D) 11)(11)(2.设 是 阶方阵，当条件（）成立时， 元线性方程组 有惟一解AnnbX(A) (B) r)( r)(A(C) (D) 00b电大复习资料3.设 为随机事件，下列等式成立的是（） AB,(A) (B) )()(BAP )()()BAPAP(C) (D) B4.随机事件 互斥的充分必要条件是（） ,(A) (B) BAA(C) (D) 0)(BP5. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（） (A) (B) fxx(),5014其 它 fxx(),10其 它(C) (D) 其 它,0sin)(f 其 它,2cos)(f二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1. *0232.若 是 的特征值，则 是方程 的根A3.已知 ，则 5.0)(,9.)(BP)(BAP4.设连续型随机变量 的密度函数是 ，则 Xxf)(bXa5.统计量就是 的样本函数三、计算题（每小题 16 分，共 64 分）1 设矩阵 ，求10A1)(A2.在线性方程组 1532321xx中 取何值时，此方程组有解有解的情况下写出方程组的一般解3. 一袋中有 9 个球，其中 6 个黑球 3 个白球今从中依次无放回地抽取两个，求第 2 次抽取出的是白球的概率.4.设 ，试求 ； （已知)4,5(NX)95(XP)7(P,8413.0)(电大复习资料）987.0)3(,97.0)2(四、证明题（本题 6 分）设 是可逆矩阵 的特征值，且 ，试证： 是矩阵 的特征A011A问题 14. 综合练习题工程数学（本）综合练习一、单项选择题1设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ) BA,nA B111BAC D11 11正确答案：A2方程组 相容的充分必要条件是( )，其中 ，31221ax 0ia)3,(iA B0321a 0321aC D 正确答案：B3设矩阵 的特征值为 0，2，则 3A 的特征值为 ( ) 1AA0，2 B0，6 C0，0 D2，6正确答案：B 4. 设 A，B 是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的A. ，其中 A，B 相互独立)()(PB. ，其中 0)(C. ，其中 A，B 互不相容)()(D. ，其中PA)(正确答案：C电大复习资料5若随机变量 X 与 Y 相互独立，则方差 =（ ） )32(YXDA B)(3(2D(C D 94 )94正确答案：D6设 A 是 矩阵， 是 矩阵，且 有意义，则 是( )矩阵nmtsCAA B C Dsmt正确答案：B7若 X1、X 2 是线性方程组 AX=B 的解，而 是方程组 AX = O 的解，则（ 21、）是 AX=B 的解A B C D 21321321X21X正确答案：A8设矩阵 ，则 A 的对应于特征值 的一个特征向量 =( ) 210A B C D 10100110正确答案：C9. 下列事件运算关系正确的是（ ） A B C DABAAB1正确答案：A 10若随机变量 ，则随机变量 （ ） )1,0(NX23XYA B C D)3,2(34),4(N)3,2(N正确答案：D11设 是来自正态总体 的样本，则（ ）是 的无偏估计321,x),(2A B 5321xC D3215xx 5正确答案：C电大复习资料12对给定的正态总体 的一个样本 ， 未知，求 的置信),(2N),(21nx 2区间，选用的样本函数服从（ ） A 分布 Bt 分布 C指数分布 D正态分布2正确答案：B二、填空题1设 ，则 的根是 4122)(xf 0)(xf应该填写： ,2设向量 可由向量组 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n,21 n,1应该填写：线性无关3若事件 A，B 满足 ，则 P（A - B）= 应该填写： )(P4 设随机变量的概率密度函数为 ，则常数 k = 其 它,011)(2xkxf应该填写： 5若样本 来自总体 ，且 ，则 nx,21 )1,0(NXnix1应该填写： ),0(N6行列式 的元素 的代数余子式 的值为= 7012568321a21A应该填写-567设三阶矩阵 的行列式 ，则 =A21应该填写：2电大复习资料8若向量组： ， ， ，能构成 R3 一个基，则数 k 213020k应该填写： 29设 4 元线性方程组 AX=B 有解且 r（A）=1，那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有个解向量应该填写：310设 互不相容，且 ，则 A,P()0()应该填写：0 11若随机变量 X ，则 2,U)(XD应该填写： 3112设 是未知参数 的一个估计，且满足 ，则 称为 的 估 )(E计应该填写：无偏三、计算题1设矩阵 ，求：（1） ；（2） 203,1032BAAB1解：（1）因为 1210所以 2BA（2）因为 10013I 10102/310013电大复习资料所以 102/31A2求齐次线性方程组 的通解02359625214xx解： A= 601031591213一般解为 ，其中 x2，x 4 是自由元 035421x令 x2 = 1，x 4 = 0，得 X1 = ；)0,(x2 = 0，x 4 = 3，得 X2 = 3所以原方程组的一个基础解系为 X1，X 2 原方程组的通解为： ，其中 k1，k 2 是任意常数 1k3设随机变量 （1）求 ；（2）若 ，),4(N)4(P932.0)(kXP求 k 的值 （已知 ） 93.05(,83.0975.02解：（1） 1)(XP)(X= 1 1（ ）= 2（1 ）0.045 4)(（2） 1()(kk 4(kP1 )5.93.0)即k4 = -1.5， k2.5(5.()4(k4某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为 10.5 cm，标准差为 0.15cm.从一批产品中随机地抽取 4 段进行测量，测得的结果如下：（单位：电大复习资料cm）10.4，10.6，10.1，10.4问：该机工作是否正常( , )？05.96.175.u解：零假设 .由于已知 ，故选取样本函数 1:0H.0nxU)1,0(N经计算得 ， ， 375.x075.41.n 67.105.371nx由已知条件 ，且 96.12u 2196.1nx故接受零假设，即该机工作正常.5已知矩阵方程 ，其中 ， ，求 BAX30135021BX解：因为 ，且I)( 102100211)(IA10即 21)(AI所以 34215010)(1BIX6设向量组 ， ， ，),42(1，),684(2，)2,51(，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组),32(4，电大复习资料解：因为（ ）=1234 124156381075002所以，r( ) = 3 4321,它的一个极大线性无关组是 （或 ） 41,432,7设齐次线性方程组 ， 为何值时方程组有非零解？在有非零08352321xx解时，求出通解解：因为 A = 8352610501时， ，所以方程组有非零解 05即当 3)(r方程组的一般解为： ，其中 为自由元321x3令 =1 得 X1= ，则方程组的基础解系为 X13x),(通解为 k1X1，其中 k1 为任意常数 8罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子，4 颗黑子若从中任取 3 颗，求：（1）取到3 颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到 3 颗棋子颜色相同的概率解：设 =“取到 3 颗棋子中至少有一颗黑子 ”， =“取到的都是白子” ， =“取1A2A3A到的都是黑子” ，B =“取到 3 颗棋子颜色相同” ，则（1） )(1)()(21PP745.0.1328C（2） 3232AA电大复习资料273.018.25.025.0314C9设随机变量 X N（3，4） 求：（1）P（1 X 7） ；（2）使 P（X a）=0.9 成立的常数 a ( ， ， ) 8.)9.).(9.)(解：（1）P（1 X 7）= 32= = = 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386 )23()1(（2）因为 P（X a）= = = 0.9(a)所以 ，a = 3 + = 5.56 8.18.10从正态总体 N（ ， 9）中抽取容量为 64 的样本，计算样本均值得 = 21，求 x的置信度为 95%的置信区间 (已知 ) 96.175.0u解：已知 ，n = 64，且 3nx,(N因为 = 21， ，且 x96.12u 735.0649.121u所以，置信度为 95%的 的置信区间为：.2,5.0,2121nxnx四、证明题1设 是 n 阶矩阵，若 = 0，则 A3A21)(AII证明：因为 = = = )(2I32I所以 1(I2设 n 阶矩阵 A 满足 ，则 A 为可逆矩阵0)(I证明： 因为 ，即 )(2I I2所以，A 为可逆矩阵 3设向量组 线性无关，令 ， ，321,2132，证明向量组 线性无关。4321,证明：设 ，即0321kk电大复习资料0)4()23()2( 13321 kkk213因为 线性无关，所以 321,04321k解得 k1=0, k2=0, k3=0，从而 线性无关 321,4设 , 为随机事件，试证：ABPABPA()()证明：由事件的关系可知UB(而 ，故由概率的性质可知()