九年级数学 第10讲 几何问题探究-线段的和、差及旋转相关问题教案.doc

几何问题探究线段的和、差及旋转相关问题知识点截长补短辅助线的运用、旋转的性质，相似三角形的性质与判定；相似三角形的综合；教学目标熟练掌握线段和差问题的证明方法；教学重点能够灵活的运用旋转的性质去证明图形中线段的关系；教学难点灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究图形的线段问题；知识讲解考点1 旋转变换旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。考点2 两条线段之间的数量关系 在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD或AB=CD等。在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下：1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=b；2.利用等腰三角形证明a=b；3.利用含30角的直角三角形证明a=b等；考点3 两条线段之间的位置关系在位置关系猜想中，关键是如何证明，方法如下：1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。考点4 三条线段之间的数量关系当要探究三条线段a、b、c之间的数量关系时，解题步骤为：1.将其中的两条线段的和（差）转化为另一条线段d的长，即通过证明三角形全等得出两条线段相等，三条线段之间的数量关系转化为两条线段之间的数量关系；2.在特殊三角形中找到d与另一条线段之间的关系，当这两条线段在同一个特殊三角形中，通过特殊三角形的性质，得出这两条线段之间的数量关系；当变化后两条线段在同一四边形中，可以证明四边形为特殊四边形，通过特殊四边形的性质，得出这两条线段之间的数量关系；3.结合1.2结论，直接写出三条线段之间的数量关系。例题精析考点一 线段和差问题例1 在四边形ABCD中，对角线AC平分DAB（1）如图，当DAB=120，B=D=90时，求证：AB+AD=AC（2）如图，当DAB=120，B与D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明（3）如图，当DAB=90，B与D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明 例2如图1，在平行四边形ABCD中，AEBC于点E，E恰为BC的中点，tanB=2（1）求证：AD=AE；（2）如图2，点P在线段BE上，作EFDP于点F，连接AF，求证：DF-EF= AF；（3）请你在图3中画图探究：当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF垂直直线DP，垂足为点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论 考点二 旋转相关问题例3 如图（1），在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC.（1） 若ABC=BEF=60，探究PG与PC的位置关系及的值.（2） 将图（1）中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰恰相好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原题中的其它条件不变，如图（2），问题（1）中的结论还成立吗？（3） 若图（1）中ABC=BEF=2（090），将图（1）中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中其它条件不变，请写出的值.例4如图，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示)课程小结本节课主要研究了线段的和差问题及旋转的相关问题，在遇到多条线段的和差问题时，我们可以首选截长补短的方法来研究，同样也可以根据题干中所给出的特殊条件借助辅助线来研究，而如若遇到旋转相关的问题，只需把握住旋转的性质便可。几何问题的探究，是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。例1【规范解答】（1）在四边形ABCD中，AC平分DAB，DAB=120，CAB=CAD=60又B=D=90，ACB=ACD=30AB=AD= AC，即AB+AD=AC（2）AB+AD=AC证明如下：如图，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、FAC平分DAB，CE=CFABC+D=180，ABC+CBF=180，CBF=D又CED=CFB=90，CEDCFBED=BFAD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AFAC为角平分线，DAB=120，ECA=FCA=30，AE=AF= AC，AE+AF=AC，AB+AD=AE+AF=ACAB+AD=AC（3）AB+AD= AC证明如下：如图，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、FAC平分DAB，CEAD，CFAF，CE=CF ABC+ADC=180，ADC+EDC=180，ABC=EDC又CED=CFB=90CFBCEDCB=CD延长AB至G，使BG=AD，连接CGABC+ADC=180，ABC+CBG=180，CBG=ADCGBCADCG=DAC=CAB=45ACG=90AG= ACAB+AD= AC 【总结与反思】（1）由AC平分DAB，DAB=120，可得CAB=CAD=60，又由B=D=90，即可得ACB=ACD=30，根据直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半，即可得AB+AD=AC；（2）首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F，由AC平分DAB，可得CE=CF，又由B与D互补，可证得CEDCFB，则可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，则可得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC；（3）首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F，与（2）同理可得CEBCFD，则可得G=DAC=CAB=45，即可求得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD= AC例2【规范解答】（1）证明：tanB=2，AE=2BE；E是BC中点，BC=2BE，即AE=BC；又四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC=AE；（2）证明：作AGAF，交DP于G；（如图2）ADBC，ADG=DPC；AEP=EFP=90，PEF+EPF=PEF+AEF=90，即ADG=AEF=FPE；又AE=AD，FAE=GAD=90-EAG，AFEAGD，AF=AG，即AFG是等腰直角三角形，且EF=DG；FG= AF，且DF=DG+GF=EF+FG，故DF-EF= AF；（3）解：如图3，当EP2BC时，DF+EF= AF，解法同（2）当EP2BC时，EF-DF= AF。-【总结与反思】（1）首先根据B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GAAF，交BD于G，通过证AFEAGD，来得到AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证（3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已 例3【规范解答】（1）延长线段GP交线段DC于点H，CDGF，PDH=PFG，DHP=PGF，DP=PF，DPHFGP，PH=PG，DH=GF，CD=BC，GF=GB=DH，CH=CG，CPHG，ABC=60，DCG=120，PCG=60，PG：PC=tan60=线段PG与PC的位置关系是PGPC，PG:PC=；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH，P是线段DF的中点，FP=DP，ADGF，HDP=GFP，GPF=HPD，GFPHDP（ASA），GP=HP，GF=HD，四边形ABCD是菱形，CD=CB，HDC=ABC=60，ABC=BEF=60，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，GBF=60，HDC=GBF，四边形BEFG是菱形，GF=GB，HD=GB，HDCPGF，HCD=120，CH=GB，PH=PG，PGPC，GCP=HCP=60，PG:PC=；（3）ABC=BEF=2（090），PCG=90-，由（1）可知：PG：PC=tan（90-），PG:PC=tan（90-）【总结与反思】倍长中线构造全等，注意旋转后的图形边的不变性及角度的变化。例4【规范解答】（1）证明：ABC是等腰直角三角形，B=C=45，AB=AC。AP=AQ，BP=CQ。E是BC的中点，BE=CE。在BPE和CQE中，BE=CE，B=C，BP=CQ，BPECQE（SAS）。（2）连接PQ。ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45。BEQ=EQC+C，即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45=EQC+45。BEP=EQC。BPECEQ。BP=a，CQ=，BE=CE，即BE=CE=。BC=。AB=AC=BCsin45=3a。AQ=CQAC=，PA=ABBP=2a。在RtAPQ中，。【总结与反思】（1） 由ABC是等腰直角三角形，易得B=C=45，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得BPECQE;（2） 由ABC和DEF是两个全等的等腰三角形，易得B=C=DEF=45，然后利用三角形的外角的性质，即得BEP=EQC,则可证得BPECEQ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离。