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二次函数与图形面积的综合问题知识点二次函数综合；勾股定理；相似三角形的性质；教学目标1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2灵活运用数形结合思想教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题；教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；知识讲解探究图形面积的一般思路要求三角形或四边形的面积的最大值或是最小值，解决这类问题的基本步骤：（1）首先要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动个时间t或动点的坐标（t，at2+bt+c）（2）求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高，此时就先证明涉及到底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似，从而求得用含t的代数式表示底和高；求四边形的面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段；（3）用含有未知数的代数式表示出图形的面积；（4）用二次函数的知识来求最大值或是最小值。例题精析例1如图， ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，由PQAC？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？例2如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）例3如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，CPQ的面积为S求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；当S最大时，在抛物线y=x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由例4如图，已知抛物线y=x2x3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得MAD的面积与CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由课程小结有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与图形面积的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与图形面积的综合问题时，抓住已有的信息及条件用所设未知数来表示出图形的面积，并能运用二次函数的最值来解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。例1【规范解答】（1）由，得A(0,3)，C(4,0)由于B、C关于OA对称，所以B(4,0)，BC8因为AD/BC，ADBC，所以D(8,3)将B(4,0)、D(8,3)分别代入，得解得，c3所以该二次函数的解析式为（2）设点P、Q运动的时间为t如图2，在APQ中，APt，AQACCQ5t，cosPAQcosACO当PQAC时，所以解得图2 图3如图3，过点Q作QHAD，垂足为H由于SAPQ，SACD，所以S四边形PDCQSACDSAPQ所以当AP时，四边形PDCQ的最小值是【总结与反思】1求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由ADBC可以得到2设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来3四边形PDCQ的面积最小，就是APQ的面积最大例2【规范解答】（1）由，得A(3,0)、B(6,0)、C(0,9)所以AB9，OC9（2）如图2，因为DE/CB，所以ADEACB所以而，AEm，所以 m的取值范围是0m9图2 图3（3）如图2，因为DE/CB，所以因为CDE与ADE是同高三角形，所以所以当时，CDE的面积最大，最大值为此时E是AB的中点，如图3，作EHCB，垂足为H在RtBOC中，OB6，OC9，所以在RtBEH中，当E与BC相切时，所以【总结与反思】1ADE与ACB相似，面积比等于对应边的比的平方2CDE与ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比例3【规范解答】（1）将A、C两点坐标代入抛物线 c8，解得 b， c8 ，抛物线的解析式为（2）OA=8，OC=6过点Q作QEBC与E点，则当m=5时，S取最大值；在抛物线对称轴l上存在点F，使FDQ为直角三角形，抛物线的解析式为的对称轴为，D的坐标为（3，8），Q（3，4），当FDQ=90时，F1（ ，8），当FQD=90时，则F2（ ，4），当DFQ=90时，设F（，n），则FD2+FQ2=DQ2，即，解得：，F3（ ，），F4（，），满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（ ，8），F2（，4），F3（，），F4（，）【总结与反思】1. 将A、C两点坐标代入抛物线即可求得抛物线的解析式；2. 先用m 表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数，化简为顶点式，便可求出S的最大值；直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写例4【规范解答】解：（1）y=x2x3，当y=0时， x2x3=0，解得x1=2，x2=4当x=0，y=3A点坐标为（4，0），D点坐标为（2，0），C点坐标为（0，3）；（2）y=x2x3，对称轴为直线x=1AD在x轴上，点M在抛物线上，当MAD的面积与CAD的面积相等时，分两种情况：点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，C点坐标为（0，3），M点坐标为（2，3）；点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3当y=4时， x2x3=3，解得x1=1+，x2=1，M点坐标为（1+，3）或（1，3）综上所述，所求M点坐标为（2，3）或（1+，3）或（1，3）；（3）结论：存在如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若BCAP1，此时梯形为ABCP1由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BCx轴，则P1与D点重合，P1（2，0）P1A=6，BC=2，P1ABC，四边形ABCP1为梯形；若ABCP2，此时梯形为ABCP2A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，3），直线AB的解析式为y=x6，可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，3）代入，得b=3，直线CP2的解析式为y=x3点P2在抛物线y=x2x3上，x2x3=x3，化简得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，P2（6，6）ABCP2，ABCP2，四边形ABCP2为梯形综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（2，0）或（6，6）【总结与反思】1. 令y=0，解方程x2x3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=3，可确定C点坐标；2. 根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；3. 根据梯形定义确定点P，如图所示：若BCAP1，确定梯形ABCP1此时P1与D点重合，即可求得点P1的坐标；若ABCP2，确定梯形ABCP2先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标
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