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第二十二章 22.3.1实际问题与二次函数（一）知识点1:利润最大问题1.在现实生活中常常遇到一类求最大(小)值的问题.如在产品的营销过程中何时获得最大利润;在生产中如何获得最大的产值以及怎样获得最好的效果等.这些问题都可以转化为二次函数问题,利用二次函数的性质加以解决.2.解销售中最大利润问题的步骤:(1)利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;(3)求二次函数的最大值或最小值.知识点2:面积最大问题1.几何图形中的二次函数问题常见的有:几何图形中面积的最值、用料的最佳方案等.2.利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数解析式,并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积.3.求几何图形面积的常见方法有:利用几何图形的面积公式求出几何图形的面积;利用几何图形面积的和或差求几何图形的面积;利用相似比求几何图形的面积等.4.解决面积问题的一般步骤:(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;(3)求二次函数的最大值或最小值.拓展提高：在处理复杂图形面积时常用的方法是:把复杂的几何图形进行分割求和.考点1：利用二次函数求最大利润问题【例1】李经理按市场价格10元/千克在某地收购了2 000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.(1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数解析式;(2)李经理想获得利润22 500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)由题意得y与x之间的函数解析式为:y=(10+0.5x)(2 000-6x)=-3x2+940x+20 000(1x110,且为整数).(2)由题意得:-3x2+940x+20 000-102 000-340x=22 500,解方程得:x1=50,x2=150(不合题意,舍去).答:李经理想获得利润22 500元,需将这批香菇存放50天后出售.(3)设最大利润为W元,由题意得W=-3x2+940x+20 000-102 000-340x=-3(x-100)2+30 000.0100110,当x=100时,W取得最大值,其最大值为30 000.答:存放100天后,出售这批香菇可获得最大利润,最大利润是30 000元.点拨：(1)存放x天后,香菇的市场价格为(10+0.5x)元/千克,此时香菇损坏6x千克,还可出售的香菇有(2 000-6x)千克,因此y=(10+0.5x)(2 000-6x).(2)销售总金额为(10+0.5x)(2 000-6x)元,收购成本为(102 000)元,各种费用为340x元,由利润=销售总金额-收购成本-各种费用,可得方程-3x2+940x+20 000-102 000-340x=22 500.(3)由二次函数的最大值可得结果.考点2：利用二次函数求面积的最大值【例2】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙,另外三边用长为30 m的篱笆围成.已知墙长为18 m,如图所示,设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.(1)若平行于墙的一边的长为y m,直接写出y与x之间的函数解析式及其自变量x的取值范围;(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大?并求出这个最大值;(3)当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围.解:(1)y=30-2x(6x15).(2)设矩形苗圃园的面积为S m2,则S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x.S=-2(x-7.5)2+112.5.由(1)知,6x15,当x=7.5时,S取得最大值,S最大值=112.5.即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5 m时,这个苗圃园的面积最大,最大值为112.5.(3)函数S=-2(x-7.5)2+112.5(6x15)的图象如图所示,结合图象,当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,x的取值范围是6x11.点拨：因为0y18,所以030-2x18,所以6x15,画出函数S=-2(x-7.5)2+112.5(6x15)的图象,当S=88时,-2(x-7.5)2+112.5=88,解得x1=11,x2=4(舍).所以当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,x的取值范围是6x11.
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