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知识点36 锐角三角函数一、选择题1. （xx浙江金华丽水，8，3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得ABC=，ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由锐角三角函数的定义，得AB= ，AB= ，AB与AD的长度之比为，故选B【知识点】锐角三角函数2. （xx浙江衢州，第9题，3分）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=6cm，圆锥的面积为15cm2，则sinABC的值为（ ）A B C D第9题图【答案】C【解析】本题考查了圆锥的计算、锐角三角函数的定义因为已知圆锥侧面积，从而可计算出母线长，利用勾股定理得到高线长，结合正弦函数的概念即可得到。圆锥侧面积为15，则母线长L=2156=5，利用勾股定理可得OA=4，故sinaABC=故选C。【知识点】圆锥的计算、锐角三角函数的定义3. （xx江苏无锡，9，3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tanAFE的值（ ） A.等于 B.等于 C.等于 D. 随点E位置的变化而变化【答案】A【思路分析】利用平行线的性质将AFE转化为GAF，然后利用相似三角形的对应边成比例确定GF、AG的关系，进而得到tanAFE的值.【解题过程】E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，AB=3，BC=4，=tanEAH=tanACB=,.正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，FG=EH=HG，EFHG，AFE=GAF，tanAFE=tanGAF=.【知识点】矩形的性质、正方形的性质、平行线的性质、锐角三角函数值的定义4. （xx年山东省枣庄市，11，3分）如图，在矩形中，点是边的中点，垂足为，则的值为（ ）A B C D【答案】A【思路分析】设EF=a，由平行和点是边的中点得到AF与EF的关系以及BF、DF的关系，利用BEF与ABF相似，得到BF、EF、AF的关系，表示出BF，从而表示出DF，求得的值【解题过程】设EF=a，在矩形中，ADBC，BEFDAF，又点是边的中点，AF=2EF=2a，又，BEFABF，BF=，DF=，=，故选A.【知识点】矩形；相似三角形；锐角三角函数5. （xx山东省淄博市，6，4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米，在科学计算器求坡角的度数时，具体按键顺序是=2ndF1.0tan=51.0cos2ndF=2ndF1.0Sin=51.0Sin2ndF（A） 55（B）（C） （D）【答案】A【解析】利用计算器的按键要求选取合理选项.【知识点】利用计算器计算6.（xx天津市，2，3）的值等于（ ）A B C1 D【答案】B【解析】分析：本题查了特殊角的三角函数值熟记锐角三角函数值，即可得结果.解：故选B.【知识点】特殊角的三角函数值1. （xx湖北黄冈，2题，3分）下列运算结果正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】A.原式=6a5，错误；B.原式=4a2,错误;C.原式=1,错误;D.正确.故选D【知识点】同底数幂的乘法，积的乘方，特殊三角函数值2. （xx湖南益阳，8，4分）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ） A300sinB300cosC300tanD【答案】A【思路分析】上升的高度为BC，为的对边，AB是斜边，故用正弦求解【解析】解：，BCAB sin300sin，故选择A【知识点】锐角三角形函数，解直角三角形的应用3. （xx湖北宜昌，14，3分）如图，要测量小河两岸相对的两点的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，则小河宽等于( )(第14题图)A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】C【解析】米，在RtPAC中，=，故选择C.【知识点】正弦，正切.4. （xx山东省日照市，10，3分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的O的圆心O在格点上，则BED的正切值等于（ ）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】如图，在RtABC中，AB=2，BC=1，tanBAC=.BED=BAD，tanBED=.故选D.【知识点】正方形网格 三角函数5. （xx广东广州，12，3分）如图，旗杆高AB8m，某一时刻，旗杆影子长BC16m，则tanC_【答案】【解析】根据锐角三角函数的定义可知，在直角三角形中，锐角C的对边与邻边的比叫做C的正切，所以tanC【知识点】锐角三角函数的定义6.（xx山东德州，16，4分）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上,则的正弦值是 【答案】【解析】因为，所以，所以，所以.【知识点】网格，直角三角形的边角关系7. （xx湖北荆州，T10，F3）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点是上的一动点当点到弦的距离最大时，的值是（ ）A2 B3 C.4 D5【答案】B【思路分析】【解析】如图所示，当点D到弦OB的距离最大时，DEOB.连接AB，由题意可知AB为P的直径，A（8，0），OA=8，B（0，6）OB=6，OE=BE=3，在RtDAOB中，AB=10，BP=10=5，在在RtDPEB中，PE=4，DE=EP+DP=4+5=9，tanDOB=，故选B【知识点】圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数、垂径定理.8. （xx湖北省孝感市，4，3分）如图，在中，则等于（ ）A B C D【答案】A【解析】根据勾股定理可得BC=6. 根据三角函数的定义可得sinA=.故选A.【知识点】勾股定理. 锐角三角函数的定义.9.（xx四川凉山州，10，4分）无人机在A处测得正前方河流两岸B、C的俯角分别为，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设过A作ADBC的直线交CB的延长线于点D， 则RtACD中，CAD=50，AD=h CD= AD tan50 =htan50 又RtABD中，BAD=20，可得BD= AD tan20 =htan20 CB=CD-BD=htan50-htan20=h(tan50-htan20) .故答案为A.(第10题答图)【知识点】余角定义，锐角三角函数余弦的应用.10. （xx陕西，6，3分）如图，在ABC中，AC=8，ABC=60，C=45，ADBC，垂足为D，ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）ABCD【答案】C【解析】BE平分ABD，ABC=60，ABE=EBD=30，ADBC，BDA=90DE=BEBAD=9060=30BAD=ABE=30AE=BE=2DEAE=AD在RtACD中，sinC=,AD=ACsinC=AE=，故选择C【知识点】解直角三角形二、填空题1. （xx山东滨州，15，5分）在ABC中，C90，若tanA，则sinB_【答案】【解析】设BCx,则AC2x,根据勾股定理可知ABx,故sinB【知识点】勾股定理和三角函数2. （xx年山东省枣庄市，14，4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯的倾斜角为，的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米.（结果保留两个有效数字）【参考数据：】【答案】6.2【解析】运用锐角三角函数：，即，BC=120.515=6.186.2米，故填6.2.【知识点】解直角三角形3. （xx年山东省枣庄市，16，4分）如图，在正方形中，把边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点，连接，则三角形的面积为 . 【答案】95【思路分析】如图，过点P作PFCD于点F，过点P作PGBC于点G先证明ABP是等边三角形，再应用特殊角的三角函数值求出PF、CE的长，即可解得PCE的面积【解题过程】解：如图，过点P作PFCD于点F，过点P作PGBC于点G则BP=，在RtBGP中，PBC30，PGBPsinPBG，BGBPcosPBG3，CGBCCG3，则PF3，PBC30，ABP60，又ABBP，ABP是等边三角形，BAP60，PAD30，DEADtanPAD2，CEDCDE2，SPCEPFCE(3)(2)95【知识点】正方形的性质；等边三角形的判定；特殊角三角函数值4. （xx浙江湖州，13，4）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O若tanBAC，AC6，则BD的长是 【答案】2【解析】菱形的对角线互相垂直，ABCDtanBAC，AC6，AO3BO1BD2BO2故填2.【知识点】菱形的对角线，正切5. （xx宁波市，18题，4分） 如图，在菱形ABCD中，AB=2，B是锐角，AEBC于点E，M是AB的中点连结MD，ME,若EMD=90，则cosB的值为 【答案】3-12【解析】解：延长EM，交DA的延长线与点G，连接ED M是AB中点，AM=BM又菱形ABCDGDBCGAB=ABC易证ACDBCE(SAS)GM=EM；AG=BE又MDGE；GM=EMDG=DE设BE=xDE=x+2在RTABE中，AE2=AB2-BE2 在RtADE中， AE2=DE2-AE2AB2-BE2=DE2-AE2，即22-x2=(x+2)2-22解得：x=3-1在RtABE中cosB=BEAB=3-12【知识点】勾股定理、锐角时间函数、等腰三角形1. （xx甘肃天水，T12，F4）已知在RtABC中，C=90，sinA=1213，则tanB的值为_.【答案】512.【解析】在RtABC中，由sinA=1213，令a=12，c=13，根据勾股定理，得b=5.tanB=ba=512.【知识点】锐角三角函数2. （xx广西玉林，17题，3分）如图，在四边形ABCD中，B=D=90，A=60，AB=4，则AD的取值范围是_第17题图【答案】2AD8【解析】由题，A=60，AB=4，已确定，AD的长度可以变化，如下图（1），是AD最短的情况，此时AD=ABcos60=2，如下图（2），是AD最长的情况，此时AD=AB/cos60=8，而这两种情况四边形ABCD就变成了三角形，故都不能达到，故AD的取值范围是2AD8 第17题图（1） 第17题图（2）【知识点】动态问题，特殊的三角函数值3. （xx山东省泰安市，15，3）如图，在矩形中，将矩形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的值为 【答案】【解析】根据折叠的性质得到RtAEBRtAEB ，即可得到结论，在RtCBA中利用勾股定理求得：，在RtCDE中，设，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x在RtABE中，利用勾股定理求出BE的长，从而求出的值【解答过程】解：矩形ABCD沿沿折叠，使点落在处，RtAEBRtAEB，在RtCBA中，由勾股定理求得：四边形ABCD为矩形，ADBC10，CDAB6，在RtCDE中，设AEx，则EC8+x，ED10x，在RtCDE中，CE2CD2+DE2，即，解得x2，在RtAEB中， 故答案是：【知识点】翻折变换(折叠问题)；矩形的性质；直角三角形的性质；三角函数.三、解答题1. （xx江苏无锡，17，3分） 已知ABC中，AB=10，AC=，B=30，则ABC的面积等于 . 【答案】或【思路分析】先画出ABC的草图，确定对应元素的位置和大小，再利用三角形的面积公式求解.【解题过程】分两种情况求解：（1） 如图1所示，作ADBC于点D，AB=10，B=30，AD=AB=10=5，.又AC=，.BC=BD+CD=，ABC的面积为.（2） 如图1所示， 作ADBC于点D，AB=10，B=30，AD=AB=10=5，.又AC=，.BC=BD-CD=，ABC的面积为.综上所述，ABC的面积等于或.【知识点】含30角的直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、解直角三角形、三角形的面积公式、分类讨论思想2. （xx四川省成都市，24，4） 如图，在菱形ABCD的中，tanA，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段AB的对应线段EF经过顶点D当EFAD时，的值为 【答案】【思路分析】延长NF交DC于H根据翻折得AE，BDFN，利用菱形中邻角互补，可得到ADFH，且DHF90，在RtEDM中，根据tanAtanE，得到EDM三边的关系，求出菱形边长，在解RtDHF和RtNHC，求出CN，BN，即可求出的值【解题过程】解：四边形ABCD为菱形，ADBC，AB180，DFNDFH180，又BDFN，ADFH，ABCD，AADC180，又ADF90，AFDC90，DFHFDC90，DHF90，AE，tanAtanE，设DM4x，DE3x，EM5x，AM5x，ADAMDM9x，EFABAD9x，DFEFDE6x，在RtDFH中ADFH，tanAtanDFH，DHDFx，CHDCDHx，在RtCHN中AC，tanAtanC，CNCH7x，BNBCCN2x，【知识点】菱形性质；锐角三角函数；翻折变换1. （xx四川自贡，22，8分）如图，在中，；求和的长.【思路分析】通过作高构造直角三角形，在RtBCD和RtACD中利用特殊角的三角比和勾股定理即可求解.【解题过程】如图所示，过点C作CDAB，交AB于点D，在RtBCD中，.，.在RtACD中，,，.，综上所述，AC长为10，AB长为.【知识点】解直角三角形
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