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第二部分专题六 类型四1在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图的方式放置点A1，A2，A3，An和点C1，C2，C3，Cn分别落在直线yx1和x轴上抛物线L1过点A1，B1，且顶点在直线yx1上，抛物线L2过点A2，B2，且顶点在直线yx1上，按此规律，抛物线Ln过点An，Bn，且顶点也在直线yx1上，其中抛物线L2交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L3交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2，抛物线Ln1交正方形AnBnCnCn1的边AnBn于点Dn(其中n2且n为正整数)(1)直接写出下列点的坐标：B1 (1,1)，B2 (3,2)，B3_(7,4)_ _；(2)写出抛物线L2，L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线Ln的顶点坐标 (32n21,32n2)；(3) 设A1D1k1D1B1，A2D2k2D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；点D1，D2，Dn是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线yx1的交点坐标；若不是，请说明理由. 解：(1)B1(1,1)，B2(3,2)，B3(7,4)(2)抛物线L2，L3的解析式分别为y2(x2)23，y3(x5)26.抛物线L2的解析式的求解过程： 对于直线yx1，设x0，可得y1，A1(0,1)四边形A1B1C1O是正方形，C1(1,0)又点A2在直线yx1上，可得点A2(1,2)，又B2的坐标为(3,2)，抛物线L2的对称轴为直线x2，抛物线L2的顶点坐标为(2,3)，设抛物线L2的解析式为ya(x2)23，L2过点B2(3,2)，当x3时，y2，2a(32)23，解得a1，抛物线L2的解析式为y(x2)23.抛物线L3的解析式的求解过程：B3的坐标为(7,4)，同上可求得点A3的坐标为(3,4), 抛物线L3的对称轴为直线x5，抛物线L3的顶点为(5,6)设抛物线L3的解析式为ya(x5)26，L3过点B3(7,4)，当x7时，y4, 4a(75)26，解得a，抛物线L3的解析式为y(x5)26.猜想抛物线Ln的顶点坐标为(32n21,32n2)猜想过程：方法1：可由抛物线L1，L2，L3，的解析式为y12(x)2，y2(x2)23，y3(x5)26，归纳总结方法2：可由正方形AnBnCnCn1顶点An，Bn的坐标规律An(2n11,2n1)与Bn(2n1,2n1)，再利用对称性可得抛物线Ln的对称轴为直线x，即x32n21.又顶点在直线yx1上，可得抛物线Ln的顶点坐标为(32n21,32n2)；(3)k1与k2的数量关系为k1k2.理由如下：同(2)可求得L2的解析式为y(x2)23，当y1时，1(x2)23，解得x12，x22，A1D12(1)，D1B11(2)1，A1D1D1B1，即k1.同理可求得A2D2422(1)，D2B22(42)222(1)，A2D2D2B2，即k2，k1k2.由知，k1k2，点D1，D2，Dn在一条直线上；抛物线L2的解析式为y(x2)23，当y1时，x2，D1(2，1)；同理，D2(52，2)，设直线D1D2的解析式为ykxb(k0)，则解得直线D1D2的解析式为yx，解得这条直线与直线yx1的交点坐标为(1,0)2在平面直角坐标系中，有一组有规律的点：A1(0,1)，A2(1,0)，A3(2,1)，A4(3,0)，A5(4,1)，.依此规律可知，当n为奇数时，有点An (n1,1)，当n为偶数时，有点An(n1,0)抛物线C1经过A1，A2，A3三点，抛物线C2经过A2，A3，A4三点，抛物线C3经过A3，A4，A5三点，抛物线Cn经过An，An1，An2三点(1)直接写出抛物线Cn的解析式；(2)若点E(e，f1)，F(e，f2)分别在抛物线C27，C28上，当e29时，请判断A26EF是什么形状的三角形并说明理由； 第2题图(3)若直线xm分别交x轴，抛物线C2 017，C2 018于点P，M，N，作直线A2 018 M，A2 018 N，当PA2 018M45时，求sinPA2 018N的值解：(1)根据顶点式容易求出C1，C2，C3，C4的解析式分别为：y1(x1)2；y3(x3)2；y2(x2)21；y4(x4)21；可以发现这组抛物线解析式的特点：当n为奇数时，yn(xn)2；当n为偶数时，yn(xn)21.(2)A26EF是等腰直角三角形如答图1，由一般到特殊，可得抛物线C27的解析式为y27(x27)2，且过点A27，A28，A29 ，抛物线C28的解析式为y28(x28)21，且过点A28，A29，A30.点E(e，f1)，F(e，f2)分别在抛物线C27，C28上，e29，f1(2927)24, f2(2928)210，点E(e，f1)，F(e，f2)坐标分别为E(29,4)，F(29,0)；A26的坐标是(25,0)，点F(29,0)与点A30重合，A26A3029254，EF4，且与y轴平行，EF A2690，A26EF是等腰直角三角形图1图2第2题答图(3)由(1)中发现的规律可知，抛物线C2 017，C2 018的解析式分别为y2 017(x2 017)2，y2 018(x2 018)21.点A2 018坐标为(2 017,0)由(2)的研究经验发现，可以退回到简单的抛物线C3，C4的情况来研究如答图2，在点A2 018(2 017,0)的左侧，当m2 016时，M(2 016,1)，此时有PA2 018M45，N(2 016，3)，sinPA2 018N；在点A2 018(2 017,0)的右侧，当m2 018时，M(2 018,1)，此时有PA2 018M45，N(2 018,1)，sinPA2 018N.综上，当PA2 018M45时，sinPA2 018N或.3(xx江西模拟)已知抛物线Cn：ynx2(n1)x2n(其中n为正整数)与x轴交于An，Bn两点(点An在Bn的左边)，与y轴交于点Dn.(1)填空：当n1时，点A1的坐标为 (2,0)，点B1的坐标为(2,0)；当n2时，点A2的坐标为 (2,0)，点B2的坐标为 (4,0)；(2)猜想抛物线Cn是否经过某一个定点，若经过请写出该定点坐标并给予证明；若不经过，请说明理由；(3)判断A2D2B4的形状；猜想AnDnBn2的大小，并给予证明解：(1)n1时，抛物线解析式为yx22，当y0时，x220，解得x12，x22，点A1的坐标为(2,0)，点B1的坐标为(2,0)；当n2时，抛物线解析式为yx2x4，当y0时，x2x40，解得x12，x24，点A2的坐标为(2,0)，点B2的坐标为(4,0)(2)ynx2(n1)x2n(x2)(x2n)，当x2时，y0，所以抛物线Cn经过定点(2,0)(3)n2，抛物线解析式为yx2x4，当x0时，y4，则D2(0,4)，n4时，抛物线解析式为yx23x8，当y0时，x23x80，解得x12，x28，点B4的坐标为(8,0)A2D224220，B4D824280，B4A102100，A2DB4DB4A，A2D2B4的形状为直角三角形，A2D2B490；AnDnBn290.理由如下：当y0时，yn(x2)(x2n)0，解得x12，x22n，点An的坐标(2,0)，点Bn的坐标为(2n,0)；点Bn2的坐标为(2n2,0)，而Dn(0,2n)，AnD(2n)2224n24，Bn2D(2n2)24n24n44n2，Bn2A(2n22)24n48n24，AnDBn2DBn2A，AnDnBn2为直角三角形，AnDnBn290.
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