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第四章 4.3.3余角和补角知识点1:互余、互补1.互余:如果两个角的和等于90(直角),那么这两个角互为余角,简称互余,即其中每一个角是另一个角的余角.数学语言:若1+2=90,则1与2互余;反之,若1与2互余,则1+2=90.2.互补:如果两个角的和等于180(平角),那么这两个角互为补角,简称互补,即其中每一个角是另一个角的补角.数学语言:若1+2=180,则1与2互补;反之,若1与2互补,则1+2=180.知识点2:余角、补角的性质1.余角的性质:同角(等角)的余角相等.若1+2=90,1+3=90,则2=3.若1+2=90,3+4=90,1=3,则2=4.2.补角的性质:同角(等角)的补角相等.若1+2=180,1+3=180,则2=3.若1+2=180,3+4=180,1=3,则2=4.知识点3:方位角在航行和测绘等工作中,经常要用到表示方向的角.例如,图中射线OA的方向是北偏东60;射线OB的方向是南偏西60,这里的“北偏东60”和“南偏西60”是用来表示方向的角,叫做方位角.它是指正北(或正南)方向线与目标方向线之间所夹的锐角.(1)习惯上把南或北写在前,东或西写在后,用两个方向表示,如“北偏东度”“北偏西度”“南偏东度”“南偏西度”.(2)习惯上,北偏东45称为东北方向;北偏西45称为西北方向;南偏西45称为西南方向;南偏东45称为东南方向.考点1:互余、互补的定义【例1】已知1=30,则1的补角的度数为度.答案:150点拨：本题考查了补角的定义,解题时牢记定义是关键.考点2:列方程求角【例2】一个角的补角是它的余角的4倍,则这个角等于度.答案:60点拨：设这个角为x,则根据题意,得180-x=4(90-x),所以180-x=360-4x,所以x=60.根据一个角与它的补角的和是平角,与它的余角的和是直角,设这个角为x,则它的补角是180-x,余角是90-x,由题目中所给的数量关系列出方程,便可以解决问题.考点3:简单的推理【例3】如图,已知CDF=OEF=90,CE与OA相交于点F,若C=20,求O的大小.解:因为CDF=OEF=90,所以O+OFE=90,C+CFD=90.因为OFE+CFO=180,CFD+CFO=180,所以OFE=CFD(同角的补角相等),所以O=C=20(等角的余角相等).点拨：OFE、CFD都是CFO的补角,根据同角的补角相等,可得OFE=CFD;又O与OFE互余,C与CFD互余,根据等角的余角相等,可得O与C相等.考点4:方位角【例4】如图所示,在O处测得北偏东30的小岛A处有一暗礁区,为避开这一危险区,轮船在O处应改为向东北方向航行才能避开.(1)在图中画出轮船的航线;(2)求出轮船航线与OA的夹角.解:(1)如图所示,作MON=45,射线OM即为轮船的航线.(2)由题意可得AON=30,所以MOA=MON-AON=45-30=15,所以轮船的航线与OA的夹角为15.点拨：方位角可看成将正北或正南方向的射线旋转一定角度形成的,东北方向就是北偏东45的方向.
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