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探索二次函数综合题解题技巧四二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。学生往往因缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。事实上,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失分、多得分、是完全可以做到的。第1小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第23小问通常要结合三角形、四边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。类型四 二次函数与特殊三角形的探究问题（1）与直角三角形的探究问题例1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1，0)，C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B。（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为B，B的坐标为：（-3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x+3）， 把C（0，3）代入，-3a=3， 解得：a=-1，抛物线的解析式为：y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3；把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得： m=1，n=3直线y=mx+n的解析式为：y=x+3；（1）设P（-1，t），又B（-3，0），C（0，3），BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，即：18+4+t2=t2-6t+10，解之得：t=-2；若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，即：18+t2-6t+10=4+t2，解之得：t=4，若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，即：4+t2+t2-6t+10=18，解之得：t1= 错误！未找到引用源。， t2=综上所述P的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1，）或（-1，）方法提炼(1)：利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的代数式；确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论；根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在；方法提炼(2)：利用两直线垂直，K值互为负倒数（K1K2=-1），先确定点所在的直线表达式将直线与抛物线的表达式联立方程组，若求出交点坐标，此点存在；否则不存在；方法提炼(3)：利用特殊角45构造直角三角形，易求点的坐标。（2）与等腰三角形的探究问题例2如图，直线y3x3交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)。(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3 (2)该抛物线的对称轴为x= 1。设Q点坐标为(1，m)当AB=AQ时 Q点坐标(1，6)，或(1，-6)； 当BA= BQ时 解得：m=0，m =6, Q点坐标为(1，0)或(1，6) 此点在直线AB上，不符合题意应舍去; 当QA=QB时 解得：m=1， Q点坐标为(1，1) 抛物线的对称轴上是存在着点Q(1,6)、(1,-6)、(1，0)、(1，1)方法提炼：设出点坐标，求边长；（类型一方法提炼）当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分三种情况讨论，如：本题中当AB=AQ时；当BA= BQ时；当QA=QB时；具体方法如下:当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在用以上方法即可找出所有符合条件的点。跟踪训练1：如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1，0），B（0，-3），与x轴交于另一点C （1）求抛物线的解析式； （2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由跟踪训练2：以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（-4，0），B（0，-2），M（0，4），P为折线BCD上一动点，作PEy轴于点E，设点P的纵坐标为a （1）求BC边所在直线的解析式； （2）当OPM为直角三角形时，求点P的坐标跟踪训练3：如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，B C （1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形状； （2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由跟踪训练4：如图，已知一次函数y0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数yax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC2（1）求二次函数yax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y0.5x+2的图象与二次函数yax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且PBD为直角三角形，求点P的坐标
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