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29 归纳与猜想阅读与思考 当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法. 归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解题中的观察活动主要有三条途径： 1数与式的特征观察 2几何图形的结构观察 3通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况. 需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明 【例1】下图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A，B，C三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是_.（“东方航空杯”上海市竞赛试题） (A) (B) (C) 解题思路：认真观察A，B，C三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推断。 【例2】如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是_ （湖北省武汉市竞赛试题）解题思路：从观察分析图形的面积入手，先考察n1，2，3，4时的简单情形，进而作出猜想【例3】如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7， (1)“17”在射线_上 (2) 请任意写出三条射线上数字的排列规律 (3)“2 007”在哪条射线上？ （贵州省贵阳市中考试题）解题思路：观察发现每条射线上的数除以6的余数相同【例4】观察按下列规则排成的一列数：，() (1)在()中，从左起第m个数记为F(m)，当F(m)时，求m的值和这m个数的积 (2)在()中，未经约分且分母为2的数记为c它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd2 001 000? 如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由 （湖北省竞赛试题） 解题思路：按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的关系、未经约分且分母为2的数在每组中的位置，这是解本例的关键， 【例5】在2,3两个数之间，第一次写上5，第二次在2.5之间和5，3之间分别写上和4，如图所示： 第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 (1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和 (2)经过k次操作后所有的数的和记为Sk，第k1次操作后所有数的和记为Sk1，写出Sk1与Sk之间的关系式 (3)求S6的值 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9个数，再把它们相加即可 (2)找到规律，即毒次操作几个数的时候，除了头尾两个数2和3之外，中间的n2个数均重复计算了2次，用Sk表示出Sk1(3)根据(1)，(2)可算出S6的值能力训练1有数组(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，则第100组的三个数之和为 （广东省广州市竞赛试题）2如图有一长条型链子，其外形由边长为1 cm的正六边形排列而成其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻，若链子上有35个黑色六边形，则此链子有_个白色六边形（xx年“实中杯”数学竞赛试题） 3按一定规律排列的一串数： ，中，第98个数是_. （山东省竞赛试题）4给出下列丽列数2，4，6，8，10,，1 9946，13, 20, 27, 34,，1 994则这两列数中，相同的数的个数是( ) A142 B143 C284（浙江省竞赛试题）5 如图，AOB45，对OA上到点的距离分别为1，3，5，7，9，11，的点作OA的垂线且与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，面积分别为S1，S2，S3，则S10.6一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为4部分，设五条直线最多分平面为部分，则n等于( ) A16 B1824 D31 （北京市“迎春杯”竞赛试题）7观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律那么xx这个数标在( )A第503个正方形的左下角 B第503个正方形的右下角C第504个正方形的左下角 D第504个正方形的右下角 （xx年浙江省衢江市竞赛试题）8自然数按下表的规律排列： (1)求上起第10行，左起第13列的数(2)数127应在上起第几行，左起第几列 （北京市“迎春杯”竞赛试题）9一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55 问：这串数的前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？ （“华罗庚金杯”竞赛试题）10.将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由 （“五羊杯”竞赛试题）11.下面是按一定规律排列的一列数：第1个数： ；第2个数：；第3个数：；第n个数：那么，在第10个数，第11个数，第12个数，第13个数中，最大的数是哪一个？ 12.有依次排列的3个数：3，9，8对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，10,1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？专题29 归纳与猜想例1 6 提示：5的对面是2，4的对面是3，1的对面是6例2 提示：1，进而推出例3 （1）OE （2）射线OA上数字的排列规律：6n5（n为自然数，下同）；射线OB上数字的排列规律：6n4；射线OC上数字的排列规律：6n3；射线OD上数字的排列规律：6n2；射线OE上数字的排列规律：6n1；射线OF上数字的排列规律：6n （3）在6条射线的数字规律中，只有6n3xx有整数解，解围n335，故“2007”在射线OC上例4 （1）可分组为（），（，），（，），（，），（，），可知各组数的个数依次为1，2，3，当F（m）时，m（122001）22003003，这2003003个数的积为例5 （1）第3次操作后所得到的9个数为：2，5，3，4，3 它们的和为25343 （2）由条件知5，则 （3）因故40；55，【能力训练】11010100 2142 提示：若有n个黑色六边形，则白色六边形个数为4n2故35时，4n2435142个3 4B576 黑色梯形的规律明显：每个梯形的高都为2，上底分别对OA上的1，5，9，下底分别对应OA上的3，7，11，而上、下底的长度恰好和它在OA上对应的数值是一样的以上底为例，11，5141，9142，故第10个梯形的上底对应OA上的数为14937，下底的长正好为39，于是766A7D 提示：xx45031，故在第504个正方形右下角8（1）第1列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在的行数的平方第10行起，左起第13列，应该是第13列的第10个数，即1014410154（2）数127满足关系式12766，即127在左起第12列，上起第6行的位置9观察已经写出的数，发现每三个连续数中恰好有一个偶数，在前100项中，第100项是奇数，前99项中有33个偶数10设至少要画k条直线k条直线最多将圆分成11234k块，当k9时，1123946，当k10时，11231056，故至少要画10条直线，可以将圆纸片分成不小于50块11若对前三个先进行计算： 第1个数：（1）0； 第2个数：（1）11； 第3个数：（1）1111； 按此规律，第n个数：（1）111 由此可知n越大，第n个数越小，那么在第10个数，第11个数，第12个数，第13个数中，最大的数是第10个数12一个依次排列的n个数组成一个数串：，依题设操作方法可得新增的数为：，新增数之和为（）（）（）（）（*）原数串为3个数：3，9，8第一次操作根据（*）可知，新增4项之和为6（1）583；第二次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，10，1，9，8根据（*）可知，新增4项之和为33（10）9583按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（398）100（83）520
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