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第二部分专题六 类型五1对于直线l1：yaxb(a0，b0)，有如下定义：我们把直线l2：y(xb)称为它的“姊线”若l1与x，y轴分别相交于A，B两点，l2与x，y轴分别相交于C，D两点，我们把经过点A，B，C的抛物线C叫做l1的“母线”(1)若直线l1：yaxb(a0，b0)的“母线”为C：yx2x4，求a，b的值；(2)如图，若直线l1：ymx1(m0)，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM，若OM，求出l1的“姊线”l2与“母线”C的函数解析式；(3)将l1：y3x3的“姊线”绕着D点旋转得到新的直线l3：ykxn，若点P(x，y1)与点Q(x，y2)分别是“母线”C与直线l3上的点，当0x1时，|y1y2|3，求k的取值范围解：(1)对于抛物线yx2x4，令x0，得到y4，B(0,4)，令y0，得到x2x40，解得x4或2，A(2,0)，C(4,0)yaxb的图象过点A，B，解得(2)如答图所示，连接OG，OH.点G，H为斜边中点，OGAB，OHCD.l1：ymx1，l1的“姊线”l2为y(x1)，B(0,1)，A(，0)，D(1,0)，C(0，)，OAOC，OBOD.AOBCOD，AOBCOD，ABCD，ABOCDO，OGOH.OGGB，OHHC，GOBABO，HOCOCD.ODCOCD90，ABOOCD90，GOBHOC90，HOG90，OGOH，OGH为等腰直角三角形点M为GH中点，OMG为等腰直角三角形，OGOM，AB2OG，OA，A(，0)，C(0，)，D(1,0)l1的“姊线”l2的函数解析式为yx，“母线”C的函数的解析式为y3x22x1.(3)l1：y3x3的“姊线”的解析式为yx1，“母线”C的解析式为yx22x3，直线l3：ykx1，当0x1时，|y1y2|3，不妨设x1，则y10，y2k1，由题意k13，解得k2或4，满足条件的k是取值范围为4k2.2我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数例如：y2x24x5的友好同轴二次函数为yx22x5.(1)请你分别写出yx2，yx2x5的友好同轴二次函数；(2)满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？ (3)如图，二次函数L1：yax24ax1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B，C分别在L1，L2上，点B，C的横坐标均为m(0m2)，它们关于L1的对称轴的对称点分别为B，C，连接BB，BC，CC，CB.若a3，且四边形BBCC为正方形，求m的值；若m1，且四边形BBCC的邻边之比为12，直接写出a的值解：(1)1()，函数yx2的友好同轴二次函数为yx2.1，1()2，函数yx2x5的友好同轴二次函数为yx22x5.(2)110，二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数12，二次项系数为的二次函数的友好同轴二次函数是它本身(3)二次函数L1：yax24ax1的对称轴为直线x2，其友好同轴二次函数L2：y(1a)x24(1a)x1.a3，二次函数L1：yax24ax13x212x1，二次函数L2：y(1a)x24(1a)x12x28x1，点B的坐标为(m,3m212m1)，点C的坐标为(m，2m28m1)，点B的坐标为(4m,3m212m1)，点C的坐标为(4m，2m28m1)，BC2m28m1(3m212m1)5m220m，BB4mm42m.四边形BBCC为正方形，BCBB，即5m220m42m，解得m1，m2(不合题意，舍去)，m的值为.当m1时，点B的坐标为(1，3a1)，点C的坐标为(1,3a2)，点B的坐标为(3，3a1)，点C的坐标为(3,3a2)，BC|3a2(3a1)|6a3|，BB312.四边形BBCC的邻边之比为12，BC2BB或BB2BC，即|6a3|22或22|6a3|，解得a1，a2，a3，a4，a的值为，或.3在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点(x，y1)和(x，y2)关于点(x，x)中心对称(包括三个点重合时)，由于对称中心都在直线yx上，所以称这两个函数为关于直线yx的特别对称函数例如：yx和yx为关于直线yx的特别对称函数(1)若y3x2和ykxt(k0)为关于直线yx的特别对称函数，点M(1，m)是y3x2上一点点M(1，m)关于点(1,1)中心对称的点坐标为 (1，3).求k，t的值(2)若y3xn的图象和它的特别对称函数的图象与y轴围成的三角形面积为2，求n的值(3)若二次函数yax2bxc和yx2d为关于直线yx的特别对称函数直接写出a，b的值已知点P(3,1)，点Q(2,1)，连接PQ，直接写出yax2bxc和yx2d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围解：(1)点M(1，m)是y3x2上一点，m5，M(1,5)，点M关于(1,1)中心对称点坐标为(1，3)y3x2和ykxt(k0)为关于直线yx的特别对称函数，x，(1k)x(t2)0，k1，t2.(2)设y3xn的特别对称函数为ymxn，x，(1m)xnn0，m1，nn，y3xn的特别对称函数为yxn，联立得解得y3xn的图象和它的特别对称函数的图象与y轴围成的三角形面积为2，|n(n)|n|2，n2.(3)二次函数yax2bxc和yx2d为关于直线yx的特别对称函数，x，(a1)x2(b2)xcd0，a1，b2，cd；由知，a1，b2，cd，二次函数yx22xd和yx2d，这两个函数的对称轴为直线x1和x0.点P(3,1)，点Q(2,1)，当d0时，如答图1，当抛物线C2：yx2d恰好过点P(3,1)时，即9d1，d8，当抛物线C1：yx22xd恰好过点Q(2,1)时，即44d1，d1，yax2bxc和yx2d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为8d1，如答图2，当0d1时，抛物线C2与线段PQ有两个交点，而抛物线C1与线段PQ没有交点，yax2bxc和yx2d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为0d1，即：yax2bxc和yx2d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为8d1或0d1.
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