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第二部分 专题六 类型一1(xx江西样卷)在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mxn经过P(，5)，A(0,2)两点(1)求此抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；(3)在抛物线上是否存在一个点P，使P点与A，C两点构成等边三角形？如果不存在，说明理由；如果存在，试求出它的坐标解：(1)根据题意得解得抛物线的解析式为yx2x2.(2)由yx2x2，得抛物线的顶点坐标为B(，1)依题意，可得C(，1)，且直线l过原点设直线l的解析式为ykx，则k1，解得k，直线l的解析式为yx.(3)存在点P(2，2)，使得PAC为等边三角形如答图，连接AC，A，B，C三点的坐标为(0,2)，(，1)，(，1)，ABOA2，OC2，AC2.tanBAO，BAO60.又ABl ，BC平行于y轴，四边形ABCO是菱形，CAO30. 故要使PAC为等边三角形，只要使PAC60，PAAC.过A点作x轴的平行线，交抛物线于点P，则有PAC60.抛物线的对称轴为x，A点的坐标为(0,2)，A点与P点关于对称轴对称，PA2AC.即存在点P(2，2)使得PAC为等边三角形2如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0)，D(3,4)，E(0,4)点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x1交x轴于点B.连接EC，AC.点P，Q为动点，设运动时间为t秒(1)填空：点A坐标为 (1,4)；抛物线的解析式为y(x1)24_.(2)在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动当t为何值时，PCQ为直角三角形？(3)在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P作PFAB，交AC于点F，过点F作FGAD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ.当t为何值时，ACQ的面积最大？最大值是多少？解：(1)抛物线的对称轴为x1，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0)，D(3,4)，E(0,4)，点A在DE上，点A坐标为(1,4)，设抛物线的解析式为ya(x1)24，把C(3,0)代入抛物线的解析式，可得a(31)240，解得a1.故抛物线的解析式为y(x1)24.(2)依题意有OC3，OE4，CE5，当QPC90时，cosQCP，解得t；当PQC90时，cosQCP，解得t.当t或t时，PCQ为直角三角形(3)A(1,4)，C(3,0)，设直线AC的解析式为ykxb，则 解得故直线AC的解析式为y2x6.P(1,4t)，将y4t代入y2x6中，得x1，Q点的横坐标为1，将x1代入y(x1)24中，得y4.Q点的纵坐标为4，QF(4)(4t)t，SACQSAFQSCFQFQAGFQDGFQ(AGDG)FQAD2(t)t(t2)21，当t2时，ACQ的面积最大，最大值是1.3(xx景德镇二模)如图，抛物线C1：y1tx21(t0)和抛物线C2：y24(xh)21(h1)(1)两抛物线的顶点A，B的坐标分别为 (0，1)和 (h,1)；(2)设抛物线C2的对称轴与抛物线C1交于点N，则t为何值时，A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形；(3)设抛物线C1与x轴的左交点为点E，抛物线C2与x轴的右边交点为点F，试问，在第(2)问的前提下，四边形AEBF能否为矩形？若能，求出h值；若不能，说明理由解：(1)抛物线C1：y1tx21的顶点坐标是(0，1)，抛物线C2：y24(xh)21的顶点坐标是(h,1)(2)AMBN，当AMBN时，A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形当xh时，y21，y1tx21th21，BN|1(th21)|2th2|.当点B在点N的下方时，4h22th22，h20，t4；当点B在点N的上方时，4h222th2，整理，得t4，当t0时，t44；当h1时，4，这样的t值不存在，当点B在点N的下方时，t4；当点B在点N的上方时t值不存在(3)能，理由如下：由(2)可知，两个函数二次项系数互为相反数，两抛物线的形状相同，故它们成中心对称点A和点B的纵坐标的绝对值相同，两抛物线的对称中心落在x轴上四边形AEBF是平行四边形，当EAF90时，四边形AFBE是矩形抛物线C1与x轴左交点坐标是(，0)，OE.抛物线C2与x轴右交点坐标是(h，0)且h1，OFh.FAOEAO90，EAOAEO90，FAOAEO.又FOAEOA90，AEOFAO，OA2OEOF，即(h)1，解得h1，当h时，四边形AEBF为矩形.
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