资源描述
几何问题探究相似与比例相关问题知识点相似三角形的性质与判定；相似三角形的综合；教学目标熟练掌握图形相似的证明方法；教学重点能够灵活的运用图形的性质去证明图形中线段的关系；教学难点灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究图形的线段问题；知识讲解考点1 两条线段之间的数量关系在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD或AB=CD等。在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下：1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=b；2.利用等腰三角形证明a=b；3.利用含30角的直角三角形证明a=b等；考点2 两条线段之间的位置关系在位置关系猜想中，两条线段是垂直关系还是平行关系一目了然，关键是如何证明，方法如下：1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。考点3 相似三角形的判定定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似考点4 证明题常用方法归纳（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”（2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.（3）找中间比： 若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。（4） 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。例题精析例1 已知：如图，若以ABC边AB、AC为边向外作矩形ABDE和矩形ACGF，AC=k AF,AB=k AE ,M、N分别为BC和DG的中点.试探究线段MN、BC之间的关系，并证明你的结论.例2如图11，在OAB和OCD中，A 1)，AOB =COD，OAB与OCD互补试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取中的一个条件k = 1(如图12)；点C在OA上，点D与点B重合(如图13)例3已知点E在ABC内，ABCEBD，ACBEDB60，AEB150，BEC90（1）当60时（如图17），判断ABC的形状，并说明理由；求证：BDAE；（2）当90时（如图18），求的值例4已知ABC是等边三角形，CDAC，AECD，且EAED，BE与AD相交于点F（1）若CADDAE（如图14），试判断BF与FE的数量关系，并说明理由；（2）若CAD2DAE（如图15），求的值例5在ABC中，A90，点D在线段BC上，EDBC，BEDE，垂足为E，DE与AB相交于点F（1）当ABAC时，（如图13）， EBF_； 探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当ABkAC时（如图14），求的值（用含k的式子表示）课程小结本节课主要研究了相似与比例相关问题，抓住题干所提供的信息，利用证明所缺条件构造出全等形或是相似形是本节课的重点，几何问题的探究，是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。例1【规范解答】证明：延长BN使得BN=NH，连接HG、HC、NC,又 ND=NG , DNB=GNH DNBGNH BD=HG延长BA交HG于Q点 BDHG AQG=ACG=90在四边形ACGQ中，AQG+ACG=180，则 HGC+QAC=180又BAC+QAC=180, HGC=BAC又AC=kAF,AB=kAE , BACHGC, BC=kHCM、N分别为BC和DG的中点MNHC, MNBC, HC=2MNBC=2kMN【总结与反思】延长BN，构造八字形全等，得到与BD相等的边HG，构造BACHGC，从而可以得到HC与BC的关系，进而得到BC与MN的关系。例2【规范解答】结论：AB =kCD证明：（方法一）在OA上取一点E，使OE=k OC，连接EB， OB= k OD，AOB=COD， OEBOCD，即EB=kCD，OEB=OCDOAB+OCD=180 ，OAB+OEB=180 ，AEB+OEB=180 ，OAB=AEBEB =AB， AB =kCD （方法二）延长OC到点E，使OE=OA，连接DE证明DOEBOA，再证明DCE是等腰三角形，进而证出结论（方法三）作DEOC交OC的延长线于E，作BFOA于F，证明DOEBOF，再证明DCEBAF，进而证出结论（评分标准参照证法一）选择（1）结论：AB =CD证明：（方法一）在OA上取一点E，使OE= OC，连接EBOB=OD，AOB=COD，OEBOCDEB=CD，OEB=OCD，OAB+OCD=1800，OAB+OEB=1800AEB+OEB=1800，OAB=AEB，EB =ABAB =CD（方法二）延长OC到点E，使OE=OA，连接DE证明DOEBOA，再证明DCE是等腰三角形，进而证出结论。（方法三）作DEOC交OC的延长线于E，作BFOA于F，证明DOEBOF，再证明DCEBAF，进而证出结论。（评分标准参照证法一）选择（2）结论：AB =CD证明：OAB+OCB=1800，ACB+OCB=1800，OAB=ACB，CB =AB即AB =CD【总结与反思】ABDCE图17方法一是截取图形构造相似形，方法二是补出图形构造相似形，方法三是作垂创造条件构造相似形。我们介绍的这三种证明方法，同时也适用于后面附加条件的证明。本题如若选择条件证明会相应的减掉一些分值。例3【规范解答】（1）判断：ABC是等边三角形 证明：ABC是等边三角形同理EBD也是等边三角形连接DC，则AB=BC，BE=BD，图18CEABDABE CBD，AE=CD，在RtEDC中 ，（2）连接DC，ABC EBD ， ，又，ABE CBD ，设BD=x 在RtEBD中，DE=2x，BE=在RtEDC中，CD=，即【总结与反思】（1）题中给出了特殊角60，我们通过导角便可以得出ABC是等边三角形，同理EBD也是等边三角形.由图形全等可以得到一个特殊三角形RtEDC，从而得到BD=AE.（2）补全图形，仿照（1），证明相似，通过边之间的关系便可以确定BD与AE的比值了。例4【规范解答】解(1) 判断：BF=FE证明：作BQAC，交AC于点P ，交AD于点Q CDAC，ACD =90，AECD ，EAC= 90，CAD=DAE，CAD =30，DAE=60EA=ED，EAD是等边三角形，EA=AD=2 CD，又ABC是等边三角形AP=PC，APB=90=EAC=ACD，AEBQCD， 即Q是AD中点EAF=BQF，AEF=QBF，PQ=CD，AC=CD在RtABP中，BP=AP=AC=CD，BQ= BP+ PQ=2CD=EAAFE QFB，BF=FE（2）作BQAC，交AC于点P ，交AD于点Q ,连接EQ同理P、Q为AC、AD的中点，EAF=BQF，AEF=QBFAFEQFB，EAC= 90,CAD=2DAE，CAD =60，DAE=30PQ=CD, AC=CD, AD=CD，BQ= BP+ PQ= AC+CD=CD+CD=CDAQ=AD=CD ，又EA=ED，EQADEA= AQ=CD= CD【总结与反思】（1）作垂线，通过题干所提供的信息得到BQ与AE的关系，从而构造全等AFE QFB，去证明BF=FE。（2）作垂线，过题干所提供的信息，从而构造全等AFEQFB，去证明BF与EF的比值是3：2.例5【规范解答】解：（1）22.5 结论：BEFD证明：如图1，过点D作DGCA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H则GDBC BHDA90GHB，EDBCGDBEDG又DEDE，DEBDEG90，DEBDEG，BEGEGB，ABAC A90，ABCCGDB，HBHDDEBBHD90 BFEDFH，EBFHDF，GBHFDH，GBFD，BEFD（2）如图1，过点D作DGCA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H同理可证：DEBDEG，BEGB，BHDGHB90，EBFHDF，GBHFDH 即，又DGCA，BHDBAC， 即k第二种解法：解：（1）ABACA90，ABCC45，EDB C，EDB22.5BEDE，EBD67.5，EBF67.54522.5在BEF和DEB中，EE90，EBFEDB22.5，BEFDEB如图：BG平分ABC，BGGDBEG是等腰直角三角形，设EFx，BEy，则：BGGD y，FD yyxBEFDEB， ，即： ，得：x（ 1）y，FD yy（ 1）y2yFD2BE（2）如图：作ACB的平分线CG，交AB于点G，ABkAC，设ACb，ABkb，BC b利用角平分线的性质有： ，即： ，得：AG EDB ACB，tanEDBtanACG ，EDB ACB ABC90ACB，EBF90ABCEDB ACB，BEFDEB，EF BEED BEEFFD，FD BE BE BE 【总结与反思】我们介绍了两种方法一种是作平行线，目的是将半角变成倍角，另一种方法是作角平分线，目的是将倍角变成半角，无论哪种方式，最终的目的都是为了构造全等形或是相似形。
展开阅读全文