七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十七讲 等边三角形（拔高） 新人教版.doc

第十七讲：等边三角形（拔高）第一部分【能力提高】一、如图，D为等边ABC边BC上任一点，以AD为边作等边ADE.（1）求证：CD+CE=AC；（2）求ACE的度数.转化发散：如图，若D为等边ABC边BC延长线上（或反向延长线上）任一点，其它条件不变，试问：结论（1）、（2）是否仍然保持不变？二、如图，D为等边ABC边BC上任一点，ADE=ACE=60，求证：ADE为等边三角形；转化发散：如图，若D为等边ABC边BC延长线上（或反向延长线上）任一点，其它条件不变，试问：结论（1）、（2）是否仍然保持不变？三、如图，A为线段BC上的一点，ABAC，以AB、AC为边在直线BC的同侧作等边ABD、等边ACE、连结DE，以DE为边向形外作等边DEF，点G在AD上，且AG=AE. （1）求证：EFGGBA； （2）求证：BDGFGD；四、 如图，等边ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PEBC，垂足为E，过E作EFAC，垂足为F，过点F作FQAQ，垂足为Q，设BP=x （1）请用x的代数式表示AQ的长度，写出你的理由； （2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？第二部分【综合运用】五、如图，等边ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，AD、BE交于F点，连接CF. （1）若CFAD，求证：AF=2BF；（2）连接CF，若AF=2BF，求证：CFAD；六、如图，在ABC中，B=45，D为BC上一点，ADC=60，CD=2BD，求C的度数.七、操作与实验：如图，边长为1的等边ABC，BCD为顶角为120的等腰三角形，将一个含30直角三角板的60角的顶点放在D点，三角板绕D点旋转，使60角的两个夹边分别交AB、AC于P、Q两点（三角板的边足够长）. 试问: 当三角板绕D点旋转时,APQ的周长是否发生变化?证明你的结论；八、 操作与实验：如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一个动点，以DM为边作等边三角形DMN（点D、M、N为逆时针顺序） （1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2和图3，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图2或图3选择其中的一个证明；若不成立，请说明理由；九、在ABC中，BAC=60.如图1，D为AC边上的一点，以BD为边作等边BDE（点B、D、E按顺时针顺序），O 为等边BDE中EBD、EDB的角平分线的交点，则OAB=_；如图2，D为CA延长线上的一点，以BD为边作等边BDE（点B、D、E按顺时针顺序），O为等边BDE中EBD、EDB的角平分线的交点，则OAB=_；（1）请你完成，并选择其中的一个证明你的结论；（2）如图3，D为AC延长线上的一点，以BD为边作等边BDE（点B、D、E按顺时针顺序），点O为BDE中与EBD、EDB相邻的两个外角平分线的交点.完成图3，猜想OAB度数（直接写出结论，不需要证明）十一、如图，已知C为线段AB上的一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边ACD 和等边BCE，连接AE，BD交于点O.（1）求证：AE=BD；（2）求AOB的度数；（3）连结OC，求证：OC平分AOB；（4）设AE、CD交于点P，BD、CE交于点Q，试判断CPQ的形状，并证明你的结论；（5）求证：OC+OD=OA；（OC+OE=OB）（6）若M、N分别为AE、BD的中点，试判断CMN的形状，并证明你的结论；十一、已知：如图，以ABC的边AB、AC为边，分别在ABC外作等边ABD、等边ACE. （1）求证：BE=CD；（2）求BOC的度数； （3）求证：AO平分DOE；（4）求证：AO+BO=DO；（AO+CO=EO） （5）若P为CD的中点，Q为BE的中点，求证：APQ为等边三角形.十二、如图，等边ABC，动点P从B点出发，沿射线AB方向运动，同时另一个动点Q从C点出发，以相同的速度沿射线CA方向运动(当Q点到达A点时运动随之停止)，连结PQ交BC于点M.（1）试问：在P、Q两点的运动过程中，点M与线段PQ是否存在某种特定的位置关系？证明你的结论；（2）如图，ADBC于点D，过M作MNPQ交AD的延长线于N点.在P、Q两点的运动时，试问的值是否发生变化？若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由.