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26 奇偶分析阅读与思考 整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属性，即奇数偶数 由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析 运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质：1.奇数偶数.2.奇数奇数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和是偶数.3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数.4.若是整数，则与，（为自然数）有相同的奇偶性.5.设，是整数，则，都有相同的奇偶数.6.偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是4的倍数加1.例题与求解 【例1】 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，的排列规律是：前两个数是1，从第三个数开始，每一个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2 004个数中共有_个偶数 (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律. 【例2】 如果，都是正整数，且，是奇数，则是( ). A只当为奇数时，其值为奇数 B只当为偶数时，其值为奇数 C只当为3的倍数时，其值为奇数 D无论为任意正整数时，其值均为奇数（五城市联赛试题）解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择 【例3】 能否找到自然数和，使. （“华罗庚金杯”邀请赛试题） 解题思路：假设存在自然数和，使等式成立，则，从，的奇偶性展开推理 【例4】 在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意写上16这6个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的.（北京市竞赛试题） 解题思路：从反面入手，即设这6个数两两都不相等，利用与=1，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引入字母进行推理证明.【例5】 表甲是一个英文字母电子显示盘，每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列4个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即A变成B，B变成C最后字母Z变成A）.问：能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变化过程，如不能，说明理由.SOBRKBDSTZEPHEXGHOCNRTBSADVXCFYA表甲 表乙（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙（可以试一试），看是否能成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化”，挖掘操作变化过程中的不变量或不变性.【例6】 设，为1或1，并且.证明能被4整除. 解题思路：应用整数的奇偶性解题，常需变化角度去考察问题，从而化难为易能力训练 1若按奇偶分类，则是_数.2已知是质数，是奇数，且，则_.（江苏省竞赛试题） 3若质数，满足，则的值为_.（河北省竞赛试题） 4在12，22，32，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有_个.（全国初中数学联赛试题）5将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么，满足要求的排法有( )种.A.2 B.3 C.4 D.56设，为整数，给出下列四个结论（1）若是偶数，则是偶数（2）若是偶数，则是奇数（3）若是奇数，则是偶数（4）若是奇数，则是奇数其中正确结论的个数是 ( ) A.0 B.2 C.4 D.1或3（“五羊杯”竞赛试题） 7如果，是三个任意整数，那么，( ) A.都不是整数 B.至少有两个是整数 C.至少有一个是整数 D.都是正数（“T1杯”全国竞赛试题） 8将1 000到1 997这998个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和，在这些和中，奇数的个数至多有( ) A.499个 B.496个 C.996个 D.995个9设，是1，2，3，1999的一个排列，求证：为偶数. 10在黑板上记上数1，2，3，1 974，允许擦去任意两个数，且写上它们的和或差.重复这样的操作手续，直至在黑板上留下一个数为止.求证：这个数不可能为零 （数学奥林匹克竞赛试题）11你能找到三个整数，使得关系式成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）12设标有A，B，C，D，E，F，G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关.现在A，C，E，G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，即又从A到G，他这样拉动了1 999次开关后，问哪几盏是开的？专题25 图形面积的计算例1 196 提示：28（28+14）-2828=2814=287=196.例2 D 提示：设ABC底边上的高为h，则BCh=24 故h=. 设ABC底边DE上的高为，BDE底边DE上的高为，则h=.=+=+）=6.例3 2cm.提示：设ABE的AE边上的高为hcm，DE长为xcm，则，解得DE=2.例4 提示： , , ,.例5 ，.设，则，于是 +，得，即.例6 设，因为E,F分别是AB,BC的中点，所以.如图，连接EF,DF，则.所以.设，则.由得. . .连接AC，又AQPC， . .连接PB，则. 由， 得.，从而，.于是. . A级1. 提示：,.2. 48.3.4. 15.625.5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF，,.10. 解法一：将DEK的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE交PK的延长线于点H.设正方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a，b.则 = = =16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则DBA=GEB=45, DBGE,得，同理GEFK，得. B级1. （或）.2. 120 提示：设AB=a，AD=b，CE=c，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d，c= b，d= a，cd=8.3. 18.75（3）.4. 8.5 提示：连HD.5. 48 提示：“生长”n次后得到边形，面积为原面积的倍.6. B.7. B 提示：过点K作KHAB. AB=8，BE=6，AE=8+6=14.又KAE=KEA=45, KH=AE=7. .8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的部分即可.9. B.10. 当a1时，即B在OA上方时，如图. ，解得a=6.当0a1时，即B在OA于x轴之间时，依题意，有，解得a=-4（不合题意，舍去）.当a0时，即B在x轴下方时，有，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，.11. . 为公共部分, .又因为AMG与AMD的高的高相等（以A为顶点作高），MCG与MCD的高相等（以C为顶点作高），,即，解得：. 连BG，设,，.则 解得 同理可得： 又 S，得 . 故 .
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