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03 从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：13142224193235116424612552 请将你找到的规律用代数式表示出来：_(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ）A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 （江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a1开始，这100个连续自然数的和为（a1）(a2) (a100)100a5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A中第n项的特征入手.【例4】现有a根长度相同的火柴棒，按如图摆放时可摆成m个正方形，按如图摆放时可摆成2n个正方形.(1)用含n的代数式表示m；(2)当这a根火柴棒还能摆成如图所示的形状时，求a的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图中有m个正方形、图中有2n个正方形，可设图中有3p个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m，n，p的等式.【例5】 化简.（江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：，（*）（1）在（*）中，从左起第m个数记为F(m) 时，求m的值和这m个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（），（，），（，），（，），（，），.能力训练A级1.已知等式：222，332，442，10 102（a，b均为正整数），则ab_.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是_.n2 n3 n4 s4 s8 s12 (山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）， 当且仅当ac且bd时，（a，b）（c，d）定义运算“”：（a，b）（c，d）（acbd，adbc）若（1，2）（p，q）（5，0），则pq_(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖_块，第n个图形中需要黑色瓷砖_块（含n代数式表示）（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（ ）A.1000a1 B. 100a1 C. 10a1 D. a1 (重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：ab，a2b3，a3b5，a4b7，其中第十个式子是（ ）A. a10b19 B. a10-b19 C. a10-b17 D. a10-b21 (四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1y1z1，x2y2z2，x3y3z3的平均数是（ ）A. B. C. abc D. 3(abc) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是（）（东方航空杯竞赛试题） A. S1S2 BSlS2 CS1S2 D无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，第n次剪裁后扇形面的总个数填入下表；剪裁次数1234n所得的总数47（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a（a0）个成品，且每个每天都生产b（b0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同 （1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a、b的代数式表示）； （2）试求出用b表示a的关系式； （3）若1名质检员1天能检验b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？（广东省广州市中考试题）B级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10n5）（n为自然数），即求（10n5）2的值（n为自然数），分析n1，n2，n3，这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律. 152225可写成1001（11）25； 252625可写成1002（21）25； 3521225可写成1003（31）25； 4522025可写成1004（41）25； . 7525625可写成_； 8527225可写成_； （2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n5）2_； （3）根据上面的归纳猜想，请算出19952_.（福建省三明市中考试题）2.已知122232n2n(n1)(2n1)，计算：（1）112122192_；(2)2242502_.3.已知n是正整数，an1234n，则_.(“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为_.（重庆市竞赛试题）5.A，B两地相距S千米，甲、乙的速度分别为a千米/时、b千米/时（ab），甲、乙都从A地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B地的小时数是（ ）A B C D6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b%出售，那么调价后的零售价是（）Am（1a%）（1b%）元 Bma%（1b%）元 Cm（1a%）b%元 Dm（1a%b%）元 （山东省竞赛试题）7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么个以同样速度所需要的数是（）A B C D(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）专题03 从算术到代数例1 例2 A例3 原式= = 故其整数部分为xx例4 设图中含有个正方形. (1) 由,得(2) 由得,因均是正整数, 所以当时,此时例5解法1: 时,;时, ,猜想: 个, 计算过程类似于解法2: 时,时, 猜想: 原式验证如下: 反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设,得另一种解法解法3: 原式例6 (1)() 可分组为可知各组数的个数依次为.按其规律应在第组中, 该组前面共有个数. 故当时,. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为(2) 依题意, 为每组倒数第2个数, 为每组最后一个数, 设它们在第n组, 别.即,得,A级1. 100 提示: 中, 根据规律可得故2. 3. 提示: 根据题中定义的运算可列代数式,可得故4. 10 5. C6. B7. B8. B9.(1) 10 13 (2) 不能, 33不符合10. (1) 或或 (2) 由,得(3)B级1. (1) (2) (3) 2. (1) (2) 提示: 原式3. 提示: 由可得, 原式 4. 595 提示: 设17个连续整数为且,它后面紧接的17个连续自然数应为,可得它们之和为5955. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为块,名同学按此速度每小时所搬砖头为块.8用a，b分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m，n分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由ambn得mbna，又an，bm，故mmnn，9证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7（均为自然数），且a1a2a3a4a5a6a7假设a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中没一个数都小于33，则有a1a2a3a4a5a6a7231与矛盾，所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于3310设四个不同整数为a1，a2，a3，a4（a1a2a3a4），则（a1a2）（a1a3）（a1a4）（a2a3）（a2a4）（a3a4）18，即3（a1a4）（a2a3）18又因3（a1a4），18均为3的倍数，故a2a3也是3的倍数，a2a3a1a4，则a2a33，a1a45，a1a21，a3a41，又a1a2a3a42310022355711从而可得a115，a214，a311，a410
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