中考数学试题分类汇编 考点37 锐角三角函数和解直角三角形（含解析）.doc

xx中考数学试题分类汇编：考点37锐角三角函数和解直角三角形一选择题（共15小题）1（xx柳州）如图，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=3，则sinB=（）ABCD【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可【解答】解：C=90，BC=4，AC=3，AB=5，sinB=，故选：A2（xx孝感）如图，在RtABC中，C=90，AB=10，AC=8，则sinA等于（）ABCD【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得【解答】解：在RtABC中，AB=10、AC=8，BC=6，sinA=，故选：A3（xx大庆）2cos60=（）A1BCD【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案【解答】解：2cos60=2=1故选：A4（xx天津）cos30的值等于（）ABC1D【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可【解答】解：cos30=故选：B5（xx贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tanBAC的值为（）AB1CD【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到ABC为等腰直角三角形，即可求出所求【解答】解：连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，ABC为等腰直角三角形，BAC=45，则tanBAC=1，故选：B6（xx金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得ABC=，ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为（）ABCD【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【解答】解：在RtABC中，AB=，在RtACD中，AD=，AB：AD=： =，故选：B7（xx宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，PCA=35，则小河宽PA等于（）A100sin35米B100sin55米C100tan35米D100tan55米【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度【解答】解：PAPB，PC=100米，PCA=35，小河宽PA=PCtanPCA=100tan35米故选：C8（xx威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4xx2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（）A当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3mB小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C小球落地点距O点水平距离为7米D斜坡的坡度为1：2【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D【解答】解：当y=7.5时，7.5=4xx2，整理得x28x+15=0，解得，x1=3，x2=5，当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；y=4xx2=（x4）2+8，则抛物线的对称轴为x=4，当x4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；，解得，则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；斜坡可以用一次函数y=x刻画，斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；故选：A9（xx淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米在用科学计算器求坡角的度数时，具体按键顺序是（）ABCD【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角【解答】解：sinA=0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A10（xx重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.6）A12.6米B13.1米C14.7米D16.3米【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJDM于J则四边形BMJC是矩形在RtCDJ中求出CJ、DJ，再根据，tanAEM=构建方程即可解决问题；【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJDM于J则四边形BMJC是矩形在RtCJD中， =，设CJ=4k，DJ=3k，则有9k2+16k2=4，k=，BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，在RtAEM中，tanAEM=，1.6=，解得AB13.1（米），故选：B11（xx重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）在E处测得建筑物顶端A的仰角为24，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin240.41，cos240.91，tan24=0.45）（）A21.7米B22.4米C27.4米D28.8米【分析】作BMED交ED的延长线于M，CNDM于N首先解直角三角形RtCDN，求出CN，DN，再根据tan24=，构建方程即可解决问题；【解答】解：作BMED交ED的延长线于M，CNDM于N在RtCDN中，=，设CN=4k，DN=3k，CD=10，（3k）2+（4k）2=100，k=2，CN=8，DN=6，四边形BMNC是矩形，BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在RtAEM中，tan24=，0.45=，AB=21.7（米），故选：A12（xx长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则A、B两地之间的距离为（）A800sin米B800tan米C米D米【分析】在RtABC中，CAB=90，B=，AC=800米，根据tan=，即可解决问题；【解答】解：在RtABC中，CAB=90，B=，AC=800米，tan=，AB=故选：D13（xx香坊区）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30，看这栋楼底部C的俯角为60，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）A160米B（60+160）C160米D360米【分析】首先过点A作ADBC于点D，根据题意得BAD=30，CAD=60，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案【解答】解：过点A作ADBC于点D，则BAD=30，CAD=60，AD=120m，在RtABD中，BD=ADtan30=120=40（m），在RtACD中，CD=ADtan60=120=120（m），BC=BD+CD=160（m）故选：C14（xx绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：1.732，1.414）A4.64海里B5.49海里C6.12海里D6.21海里【分析】根据题意画出图形，结合图形知BAC=30、ACB=15，作BDAC于点D，以点B为顶点、BC为边，在ABC内部作CBE=ACB=15，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得【解答】解：如图所示，由题意知，BAC=30、ACB=15，作BDAC于点D，以点B为顶点、BC为边，在ABC内部作CBE=ACB=15，则BED=30，BE=CE，设BD=x，则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，AC=AD+DE+CE=2x+2x，AC=30，2x+2x=30，解得：x=5.49，故选：B15（xx苏州）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A40海里B60海里C20海里D40海里【分析】首先证明PB=BC，推出C=30，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在RtPAB中，APB=30，PB=2AB，由题意BC=2AB，PB=BC，C=CPB，ABP=C+CPB=60，C=30，PC=2PA，PA=ABtan60，PC=220=40（海里），故选：D二填空题（共17小题）16（xx北京）如图所示的网格是正方形网格，BACDAE（填“”，“=”或“”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求BAC、DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断【解答】解：连接NH，BC，过N作NPAD于P，SANH=2211=AHNP，=PN，PN=，RtANP中，sinNAP=0.6，RtABC中，sinBAC=0.6，正弦值随着角度的增大而增大，BACDAE，故答案为：17（xx滨州）在ABC中，C=90，若tanA=，则sinB=【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：如图所示：C=90，tanA=，设BC=x，则AC=2x，故AB=x，则sinB=故答案为：18（xx泰安）如图，在ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DEBC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S=x2【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出BED的面积即可解决问题【解答】解：（1）在RtCDE中，tanC=，CD=xDE=x，CE=x，BE=10x，SBED=（10x）x=x2+3xDF=BF，S=SBED=x2，故答案为S=x219（xx无锡）已知ABC中，AB=10，AC=2，B=30，则ABC的面积等于15或10【分析】作ADBC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在RtABD中求得AD、BD的值，再在RtACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得【解答】解：作ADBC交BC（或BC延长线）于点D，如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在RtABD中，B=30，AB=10，AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在RtACD中，AC=2，CD=，则BC=BD+CD=6，SABC=BCAD=65=15；如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由知，BD=5，CD=，则BC=BDCD=4，SABC=BCAD=45=10综上，ABC的面积是15或10，故答案为15或1020（xx香坊区）如图，在ABC中，AB=AC，tanACB=2，D在ABC内部，且AD=CD，ADC=90，连接BD，若BCD的面积为10，则AD的长为5【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明ADGCDH（AAS），可得DG=DH=MG=，AG=CH=a+，根据AM=AG+MG，列方程可得结论【解答】解：过D作DHBC于H，过A作AMBC于M，过D作DGAM于G，设CM=a，AB=AC，BC=2CM=2a，tanACB=2，=2，AM=2a，由勾股定理得：AC=a，SBDC=BCDH=10，=10，DH=，DHM=HMG=MGD=90，四边形DHMG为矩形，HDG=90=HDC+CDG，DG=HM，DH=MG，ADC=90=ADG+CDG，ADG=CDH，在ADG和CDH中，ADGCDH（AAS），DG=DH=MG=，AG=CH=a+，AM=AG+MG，即2a=a+，a2=20，在RtADC中，AD2+CD2=AC2，AD=CD，2AD2=5a2=100，AD=5或5（舍），故答案为：521（xx眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tanAOD=2【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，ACOBKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在RtOBF中，即可求得tanBOF的值，继而求得答案【解答】解：如图，连接BE，四边形BCEK是正方形，KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BECK，BF=CF，根据题意得：ACBK，ACOBKO，KO：CO=BK：AC=1：3，KO：KF=1：2，KO=OF=CF=BF，在RtPBF中，tanBOF=2，AOD=BOF，tanAOD=2故答案为：222（xx德州）如图，在44的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上，则BAC的正弦值是【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，AC2+BC2=AB2，ABC为直角三角形，且ACB=90，则sinBAC=，故答案为：23（xx齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，ABC=90，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=17【分析】作AHBD于H，CGBD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可【解答】解：作AHBD于H，CGBD于G，tanABD=，=，设AH=3x，则BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则AH=12，BH=16，在RtAHD中，HD=5，BD=BH+HD=21，ABD+CBD=90，BCH+CBD=90，ABD=CBH，=，又BC=10，BG=6，CG=8，DG=BDBG=15，CD=17，故答案为：1724（xx广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=【分析】根据直角三角形的性质解答即可【解答】解：旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，tanC=，故答案为：25（xx枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为6.2米（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31=0.515，cos31=0.857，tan31=0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题【解答】解：在RtABC中，ACB=90，BC=ABsinBAC=120.5156.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米故答案为：6.226（xx广西）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：由题意可得：BDA=45，则AB=AD=120m，又CAD=30，在RtADC中，tanCDA=tan30=，解得：CD=40（m），故答案为：4027（xx宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45和30若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（1）米（结果保留根号）【分析】在RtACH和RtHCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长【解答】解：由于CDHB，CAH=ACD=45，B=BCD=30在RtACH中，CAH=45AH=CH=1200米，在RtHCB，tanB=HB=1200（米）AB=HBHA=12001200=1200（1）米故答案为：1200（1）28（xx黄石）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60、45，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1+）米（结果保留根号）【分析】如图，利用平行线的性质得A=60，B=45，在RtACD中利用正切定义可计算出AD=100，在RtBCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可【解答】解：如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60、45，A=60，B=45，在RtACD中，tanA=，AD=100，在RtBCD中，BD=CD=100，AB=AD+BD=100+100=100（1+）答：A、B两点间的距离为100（1+）米故答案为100（1+）29（xx咸宁）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45，测得底部C的俯角为60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为300m（结果保留整数，1.73）【分析】在RtABD中，根据正切函数求得BD=ADtanBAD，在RtACD中，求得CD=ADtanCAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可【解答】解：如图，在RtABD中，AD=90，BAD=45，BD=AD=110（m），在RtACD中，CAD=60，CD=ADtan60=110=190（m），BC=BD+CD=110+190=300（m）答：该建筑物的高度BC约为300米故答案为30030（xx天门）我国海域辽阔，渔业资源丰富如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45方向上在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处，则海岛A，C之间的距离为18n mile【分析】作ADBC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD、CD，根据题意列式计算即可【解答】解：作ADBC于D，设AC=x海里，在RtACD中，AD=ACsinACD=x，则CD=x，在RtABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里故答案为：1831（xx潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达（结果保留根号）【分析】如图，过点P作PQAB交AB延长线于点Q，过点M作MNAB交AB延长线于点N，通过解直角AQP、直角BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角BMN求得BM的长度，则易得所需时间【解答】解：如图，过点P作PQAB交AB延长线于点Q，过点M作MNAB交AB延长线于点N，在直角AQP中，PAQ=45，则AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ90在直角BPQ中，BPQ=30，则BQ=PQtan30=PQ（海里），所以 PQ90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里）所以 MN=PQ=45（3+）（海里）在直角BMN中，MBN=30，所以 BM=2MN=90（3+）（海里）所以 =（小时）故答案是：32（xx济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60的方向上，从B站测得船C在北偏东30的方向上，则船C到海岸线l的距离是km【分析】首先由题意可证得：ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在RtCBD中，CD=BCsin60，求得答案【解答】解：过点C作CDAB于点D，根据题意得：CAD=9060=30，CBD=9030=60，ACB=CBDCAD=30，CAB=ACB，BC=AB=2km，在RtCBD中，CD=BCsin60=2=（km）故答案为：三解答题（共18小题）33（xx贵阳）如图，在RtABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：sinA=，sinB=c=，c=根据你掌握的三角函数知识在图的锐角ABC中，探究、之间的关系，并写出探究过程【分析】三式相等，理由为：过A作ADBC，BEAC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证【解答】解： =，理由为：过A作ADBC，BEAC，在RtABD中，sinB=，即AD=csinB，在RtADC中，sinC=，即AD=bsinC，csinB=bsinC，即=，同理可得=，则=34（xx上海）如图，已知ABC中，AB=BC=5，tanABC=（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值【分析】（1）过A作AEBC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求【解答】解：（1）作A作AEBC，在RtABE中，tanABC=，AB=5，AE=3，BE=4，CE=BCBE=54=1，在RtAEC中，根据勾股定理得：AC=；（2）DF垂直平分BC，BD=CD，BF=CF=，tanDBF=，DF=，在RtBFD中，根据勾股定理得：BD=，AD=5=，则=35（xx自贡）如图，在ABC中，BC=12，tanA=，B=30；求AC和AB的长【分析】如图作CHAB于H在Rt求出CH、BH，这种RtACH中求出AH、AC即可解决问题；【解答】解：如图作CHAB于H在RtBCH中，BC=12，B=30，CH=BC=6，BH=6，在RtACH中，tanA=，AH=8，AC=10，AB=AH+BH=8+636（xx烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速在l外取一点P，作PCl，垂足为点C测得PC=30米，APC=71，BPC=35上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速（参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70，sin710.95，cos710.33，tan712.90）【分析】先求得AC=PCtanAPC=87、BC=PCtanBPC=21，据此得出AB=ACBC=8721=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得【解答】解：在RtAPC中，AC=PCtanAPC=30tan71302.90=87，在RtBPC中，BC=PCtanBPC=30tan35300.70=21，则AB=ACBC=8721=66，该汽车的实际速度为=11m/s，又40km/h11.1m/s，该车没有超速37（xx绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm（1）窗扇完全打开，张角CAB=85，求此时窗扇与窗框的夹角DFB的度数；（2）窗扇部分打开，张角CAB=60，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）（参考数据：1.732，2.449）【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题【解答】解：（1）AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，四边形ACDE是平行四边形，ACDE，DFB=CAB，CAB=85，DFB=85；（2）作CGAB于点G，AC=20，CGA=90，CAB=60，CG=，AG=10，BD=40，CD=10，CB=30，BG=，AB=AG+BG=10+1010+102.449=34.4934.5cm，即A、B之间的距离为34.5cm38（xx临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，A=30，C=45，AC=2（+1）m请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【分析】过B作BDAC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可【解答】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，理由是：过B作BDAC于D，ABBD，BCBD，ACAB，求出DB长和2.1m比较即可，设BD=xm，A=30，C=45，DC=BD=xm，AD=BD=xm，AC=2（+1）m，x+x=2（+1），x=2，即BD=2m2.1m，工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门39（xx长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建如图，A、B两地之间有一座山汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶已知BC=80千米，A=45，B=30（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：141，1.73）【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，ABCD，sin30=，BC=80千米，CD=BCsin30=80（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40401.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）cos30=，BC=80（千米），BD=BCcos30=80（千米），tan45=，CD=40（千米），AD=（千米），AB=AD+BD=40+4040+401.73=109.2（千米），汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BCAB=136.4109.2=27.2（千米）答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米40（xx白银）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程已知：CAB=30，CBA=45，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：1.7，1.4）【分析】过点C作CDAB于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及AD的长，进而可得出结论【解答】解：过点C作CDAB于点D，在RtADC和RtBCD中，CAB=30，CBA=45，AC=640，CD=320，AD=320，BD=CD=320，BC=320，AC+BC=640+3201088，AB=AD+BD=320+320864，1088864=224（公里），答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里41（xx随州）随州市新水一桥（如图1）设计灵感来源于市花兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上已知ABC=DEB=45，ACB=30，BE=6米，AB=5BD（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；（2）作AHBC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在RtABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在RtACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长【解答】解：（1）ABC=DEB=45，BDE为等腰直角三角形，DE=BE=6=3答：最短的斜拉索DE的长为3m；（2）作AHBC于H，如图2，BD=DE=3，AB=3BD=53=15，在RtABH中，B=45，BH=AH=AB=15=15，在RtACH中，C=30，AC=2AH=30答：最长的斜拉索AC的长为30m42（xx遵义）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64，吊臂底部A距地面1.5m（计算结果精确到0.1m，参考数据sin640.90，cos640.44，tan642.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为11.4m（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；（2）过点D作DH地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可【解答】解：（1）在RtABC中，BAC=64，AC=5m，AB=（m）；故答案为：11.4；（2）过点D作DH地面于H，交水平线于点E，在RtADE中，AD=20m，DAE=64，EH=1.5m，DE=sin64AD200.918（m），即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m43（xx资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30角，线段AA1表示小红身高1.5米（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D【分析】（1）在RtACD中，由AD=可得答案；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x，在RtBEF中求得AD=BE=18+x，由cosCAD=可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsinCAD求得CD从而得出答案【解答】解：（1）在RtACD中，cosCAD=，AC=18、CAD=30，AD=12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x（米），在RtBEF中，BE=18+x（米），由题意知AD=BE=18+x（米），CF=10，AC=AF+CF=10+x，由cosCAD=可得=，解得：x=3+2，则AD=18+（3+2）=24+3，CD=ADsinCAD=（24+3）=，则C1D=CD+C1C=+=，答：风筝原来的高度C1D为米44（xx山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量测量结果如下表项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内测量数据A的度数B的度数AB的长度3828234米（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin380.6，cos380.8，tan380.8，sin280.5，cos280.9，tan280.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）【分析】（1）过点C作CDAB于点D解直角三角形求出DC即可；（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等【解答】解：（1）过点C作CDAB于点D设CD=x米，在RtADC中，ADC=90，A=38，在RtBDC中，BDC=90，B=28，AD+BD=AB=234，解得x=72答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等（答案不唯一）45（xx常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）（参考数据：sin370.6，cos370.8，1.4）【分析】作BEAD于点E，作CFAD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在RtABE、RtCDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在RtMEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解【解答】解：作BEAD于点E，作CFAD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示AB=CD，AB+CD=AD=2，AB=CD=1在RtABE中，AB=1，A=37，BE=ABsinA0.6，AE=ABcosA0.8在RtCDF中，CD=1，D=45，CF=CDsinD0.7，DF=CDcosD0.7BEAD，CFAD，BECM，又BE=CM，四边形BEMC为平行四边形，BC=EM，CM=BE在RtMEF中，EF=ADAEDF=0.5，FM=CF+CM=1.3，EM=1.4，B与C之间的距离约为1.4米46（xx台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m当起重臂AC长度为9m，张角HAC为118时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53）【分析】作CEBD于F，AFCE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，HAF=90，再计算出CAF=28，则在RtACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可【解答】解：作CEBD于F，AFCE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，EF=AH=3.4m，HAF=90，CAF=CAHHAF=11890=28，在RtACF中，sinCAF=，CF=9sin28=90.47=4.23，CE=CF+EF=4.23+3.47.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m47（xx岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），AOM=60（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由（参考数据：1.73，结果精确到0.01米）【分析】（1）构建直角OMN，求ON的长，相加可得BN的长，即点M到地面的距离；（2）左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论【解答】解：（1）如图，过M作MNAB于N，交BA的延长线于N，RtOMN中，NOM=60，OM=1.2，M=30，ON=OM=0.6，NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE=0.65，EH=2.55，HB=3.92.550.65=0.7，过H作GHBC，交OM于G，过O作OPGH于P，GOP=30，tan30=，GP=OP=0.404，GH=3.3+0.404=3.7043.703.5，货车能安全通过48（xx徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：1.414，1.732【分析】利用锐角三角函数，在RtCDE中计算出坝高DE及CE的长，通过矩形ADEF利用等腰直角三角形的边角关系，求出BF的长，得到坝底的宽【解答】解：在RtCDE中，sinC=，cosC=DE=sin30DC=14=7（m），CE=cos30DC=14=712.12412.12，四边形AFED是矩形，EF=AD=6m，AF=DE=7m在RtABF中，B=45DE=AF=7m，BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1（m）答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m49（xx河南）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4，高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3求高、低杠间的水平距离CH的长（结果精确到1cm，参考数据sin82.40.991，cos82.40.132，tan82.47.500，sin80.30.983，cos80.30.168，tan80.35.850）【分析】利用锐角三角函数，在RtACE和RtDBF中，分别求出AE、BF的长计算出EF通过矩形CEFH得到CH的长【解答】解：在RtACE中，tanCAE=，AE=21（cm）在RtDBF中，tanDBF=，BF=40（cm）EF=EA+AB+BF21+90+40=151（cm）CEEF，CHDF，DFEF四边形CEFH是矩形，CH=EF=151cm答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm50（xx嘉兴）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，DPE=20，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75，1.41，1.73）【分析】（1）只要证明CFP1是等腰直角三角形，即可解决问题；（2）解直角三角形求出CP2的长即可解决问题；【解答】解：（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP0=2m，如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65，上调的距离为P0P11=90，CAB=90，ABE=65，AP1E=115，CP1E=65，DP1E=20，CP1F=45，CF=P1F=1m，C=CP1F=45，CP1F是等腰直角三角形，P1C=m，P0P1=CP0P1C=20.6m，即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6m（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P2处P2EAB，CP2E=CAB=90，DP2E=20，CP2F=70，作FGAC于G，则CP2=2CG=1cos700.68m，P1P2=CP1CP2=0.680.7m，即点P在（1）的基础上还需上调0.7m