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13 位置确定 平面直角坐标系阅读与思考 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系从而坐标平面上的点与有序数对（x，y） 之间建立了一一对应关系利用平面直角坐标系是确定位置的有效方法之一，解与此相关的问题需注意： （1）理解点的坐标意义；（2）熟悉象限内的点、坐标轴上的点、对称轴的坐标特征； （3）善于促成坐标与线段的转化例题与求解 【例1】 （1）已知点A(2a3b，2)和B(8，3a2b)关于x轴对称，那么_ (四川省中考试题) （2）在平面直角坐标系中，若点M(1，3)和点N(x，3)之间的距离为5，则x的值是_ (辽宁省沈阳市中考试题)解题思路：对于（1）纵坐标互为相反数，对于（2），M，N在平行于x轴的直线上787 【例2】 如图的象棋盘中，“卒”从A点到B点，最短路径共有 ( ) A14条 B15条 C20条 D35条(全国初中数学竞赛预赛试题)解题思路：以点A为起点，逐渐地寻找到达每一个点的不同走法的种数，找到不同走法的规律 例2题图 例3题图 【例3】 如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A，B的坐标分别为(0，a)和(9，a)，点E在AB上，且，点F在OC上，且点G在OA上，且使GEC的面积为20，GFB的面积为16，试求a的值 （“创新杯”竞赛试题） 解题思路：把三角形的面积用a表示，列出等式进而求出a的值 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A(0，0)，B(7，0)，C(9，5)，D(2，7) （1）在坐标系中，画出此四边形（2）求此四边形的面积（3）在坐标轴上，你能否找一个点P，使？若能，求出P点坐标；若不能说明理由 解题思路：对于（2），过C，D两点分别向x轴，y轴引垂线，由坐标得到相关线段对于（3），由于P点位置不确定，故需分类讨论【例5】如果将电P绕顶点M旋转1800后与点Q重合，那么称点P与点Q关于电M对称，定点M叫作对称中心，此时，点M是线段PQ的中点，如图，在平面直角坐标系中，ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)，点，中相邻两点都关于ABO的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，对称中心分别是A，B，C，A，B，C，且这些对称中心依次循环，已知的坐标是(1，1) 试写出点，的坐标（江苏省南京市中考试题）解题思路：在操作的基础上，探寻点的坐标变化规律【例6】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由（3）如图，点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO当点P在BD上移动时（不与B，D重合），的值是否变化？若不变，求其值解题思路：（1）由平移知C(0，2)，D(4，2) 另求出四边形面积（2）设OPh，用h表示出可求出h的值若为整数，则是y轴上的点，若不是，则说明该点不存在能力训练A级1 如图，AOB绕点O逆时针旋转900，得到，若点A的坐标为(a，b)，则点的坐标为_.（吉林省中考试题）2 ABC的坐标系中的位置如图所示，若与ABC关于y轴对称，则点A的对应点的坐标为_.（山东省青岛市中考试题） 3线段CD是由线段AB平移得到的，点A(1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(4，1)的对应点D的坐标是_.（内蒙古包头市中考试题）4如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点其顺序按图中“”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为_. （四川省德阳市中考试题）5若点A(2，n)在x轴上，则点B(n1，n1)在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 （江西省南昌市中考试题） 6若点M(a2，32a)在y轴上，则点M的坐标是 ( ) A. (2，7) B. (0，3) C. (0，7) D. (7，0)（重庆市中考试题） 7如图，若平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是( ) A. (3，7) B. (5，3) C. (7，3) D. (8，2)（江苏省南京市中考试题） 8如果点P(m，12m)在第四象限，那么m的取值范围是( )A. B. C. D （陕西省中考试题） 9如图，已知A(8，2)，B(2，2)，E，F在AB上且EOAEAO，OF平分BOE （1）求FOA（2）若将A点向右平移，在平移过程中OAB: OEB的值是否发生变化？请说明理由 10如图，智能机器猫从平面上的O点出发，按下列规律走：由O向东走12cm到，再由向北走24cm到，由向西走36cm到，由向南走18cm到，由向东走60cm到，问：智能机器猫到达点与O点的距离是多少？（“华罗庚金杯”数学竞赛试题）11中国象棋棋盘中蕴含这平面直角坐标系，如右图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规律是沿“日”形的对角线走例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A，B处（1）如果“帅”位于点(0，0)，“相”位于点(4，2)，则“马”所在的点的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D的坐标为 （2）若“马”的位置在C点，为了达到D点，请按“马”走的规律，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示（浙江省舟山市中考试题）B级1点A(3，2)关于原点的对称点为B，点B关于x轴的对称点为C，则点C的坐标为_.（广西壮族自治区竞赛试题）2在平面直角坐标系中，已知A(3，3)，点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P共有_个（内蒙古自治区包头市中考试题）3如图，在直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(0，4)，且AB5，对OAB连续作旋转变换，依次得到三角形，则三角形的直角顶点的坐标为_（浙江省嘉兴市中考试题）4若关于x，y的方程组的解为坐标的点(x，y)在第二象限，则符合条件的实数m的范围是( )A. B. C. D （四川省竞赛试题）5在平面直角坐标系中， 对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换： 如； 如； 如 按照以上变换由：，那么等于( )A.(5，3) B. (5，3) C. (5，3) D(5，3) （山东省济南市中考试题）6设平面直角坐标系的轴以1cm作为长度单位，PQR的顶点坐标为P(0，3)，Q(4，0)，R(k，5)，其中，若该三角形的面积为8cm2，则k的值是( )A.1 B. C. 2 D E（澳洲数学竞赛试题）7如图，四边形ABCO各个顶点的坐标分别为(2，8)，(11，6)，(14，0)，(0，0) （1）求这个四边形的面积（2）若把原来四边形ABCO各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增大a，则所得的四边形面积又是多少？8如图，平面直角坐标系中A(2，0)，B(2，2)，线段AB交轴于点C（1）求点C的坐标（2）若D(6，0)，动点P从D点开始在x轴上以每秒3个单位向左运动，同时，动点Q从C点开始在y轴上以每秒1个单位向下运动问：经过多少秒钟，？9某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第K棵树种植在处，其中，当时，表示非负实数a的整数部分，例如，按此方案，求第xx棵树种植点的坐标（浙江省杭州市中考试题）10如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，现将点A向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到点A的对应点B，点C的坐标为(3，2) （1）判断BC与x轴的位置关系，并求出ABC的面积（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PC，使，若存在这样的点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由（3）如图所示，点D是线段AC上的一个动点，过D作DEAC交x轴于点E，过E点作DEFDEA交AC于F点，试求出ACB与1之间的数量关系，并证明你的结论13 位置确定 平面直角坐标系例1 （1）2 提示：由题意知，解得，故a+b=(2)+4=2（2）6或4 提示：由题意知|1x|=5，解得 x=6或4例2 D 提示：如右图，从点A出发，每次向上或向右走一步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如：到达点P，Q的最短路径条数分别为2和3，以此类推，到达点B的最短路径条数为35条例3 如图：设G点坐标为（0，b），b0，因为S长方形OABCSGEC=SOGC+SAGE+SBEC，所以9a20=，解得同理，由S长方形OABCSGFB=SABG+SOGF+SBFC，得，解得3a=326b把代入上式中，得3a=729a，解得a=6例4 （1）略 （2）S四边形ABCD=44 （3）当点P在x轴上，设P（x,0)PB=|x7|，x=27或13P1（27，0），P2（13，0）当P点在y轴上，延长CB交y轴于E点，过点C作CFy轴于F设E（0，yE），又，解得，设P（0，y)，当P点在E点上方时，PE=y+，解得；当P点在E点下方时，PE=，解得综上：P1（27，0），P2（13，0），P3（0，），P4（0，）满足题意例5 点P7与点P1重合，6个点构成一个循环，P2（1，1），P7（1，1）100=616+4，点P100与点P4坐标相同，为（1，3）例6 （1）由平移知C（0，2），D（4，2）S四边形ABCD=42=8（2）SPAB=S四边形ABDC=8，设OP=h，则又AB=4，AB=4，解得h=4故点P的坐标为（0，4）或（0，4）（3）CDAB，OPC=DCP+POB，的值为1A级1（b，a) 2（4，2） 3（1，2） 4（14，8） 提示：第一列1个点，第二列2个点，前13列一共个点，第100个点位于第14列第9个点，坐标为（14，8）5B 6C 7C 8D 9（1）FOA=2250 （2）会变化A点向右平移，OEB不会发生变化，但OAB会变化10依规律第6次由A5向北走72cm到A6，OP=1236+60=36cm，PA6=2448+72=48cm，OA62=OP2+PA62=362+482=602，得OA6=60cm，即A6与O点的距离为60cm11(1)(3，0) （1，3） （3，1） （2）略B级1（3，2） 提示：由题意知，点B坐标为（3，2），点B关于x轴的对称点C的坐标为（3，2）24 3（36，0）提示：图形摆放形状每3个一循环，第10个图形与第1个图形摆放形状相同，横坐标为（4+5+3）3=364B 5B 6B 7两个四边形面积都为808（1）由面积公式可知：C（0，1） （2）设经过t秒后，PA=|83t|，则，OQ=1+t，则1=1+t，解之得或10.9根据题意知，当k=6 ,11,16，21，时，当k(k2)取其他值时，；所示横坐标xk值有如下规律：x1=1,x2 =xl+1=2，x3=x2+1=3,x4=x3 +1=4,x5=x4+15;x6=x5+1-5=1;x7=x6+1=2;x8=x7+1=3;x9=x8+1=4;x10=x9+1=5;x11=x10+1-5=1;x12=x11+1=3;x13=x12 +1=3；x14= x13 +1=4;x15= x14 +1=5；因为2 0095=4015+4，所以x2 009 =x4 =4. 对于纵坐标有如下规律： y2 =y3 =y4 =y5=y1=1,y6=y5+1=2 y7 = y8=y9= y10=y6=2,y11=y10 +1=3; yl2 = yl3=y14 =y15=y11=3,y16=y15 +1=4; y17= yl8=yl9 = y20= y16 =4, y21=y20 +1=5;. 所以y5(n-1)+1=n（n1，n为整数）令5(n-l)d+l= 2 009，解得，又因为n是整数，所以yxx= 402即第2 009棵树种植点的坐标为(4，402).10.(1)B(0,2),C(3,2),BCx轴， 又BC=3，. (2) .,即,PB=1又B点坐标为(0，2)，P点坐标为(0，1)或(0，3). (3)1=2ACB，理由如下：ACB+AED=CAE+AED= 90，两边同时乘以2得：2ACB+ 2AED= 180又1+2AED= 180，1= 2ACB
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