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1北京市朝阳区 20172018 学年度第一学期期末质量检测高一年级数学学科试卷 2018.1（考试时间 100 分钟 满分 120 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 80 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 ， ，则1AxZ04BxA B2,3BARC D1,42已知平面向量 ， ，且 ，则 = (,)ma(1,2)babmA B C D8 83已知 ， ，且 ，则xyR0xyA.B. C.D.10cos1()02xyln0xy4函数 的零点所在的区间为38xfA. B. C. D. 01， (1)2， 3()2， 34，5.设奇函数 的定义域为 ，且 ，当 时， 的图象如图所fx5,0f,5xfx示，则不等式 的解集是e1fA. 0,32B. 5,30,C. ,),D. 3,0,56.在 中，若 ，则 的形状为 ABCABCABA. 锐角三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形 D. 钝角三角形 7. 将函数 图象上的点 向右平移 个单位长度得到点 ，若 位sin2yx(,1)Pt(0)sP于函数 的图象上，则()3A. ， 的最小值为 B. ， 的最小值为 ,4tkZs3,4tkZs6C. ， 的最小值为 D. ， 的最小值为 ,2t6,2t 38.定义域为 的函数 ，满足 ，若函数(,0)(,)()fx()()fxf与 y图象的交点为 （ ） ，将每一个交sin1yx,1,3iym N点的横、纵坐标之和记为 （ ） ，则,123,itm N2tttA. B. C. D.m 第二部分（非选择题 共 80 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知 ， ，则 , . 1sin3(,)2costan310已知函数 则 _；若 ，则 _.2,0log,xf- (1)-f1()2fxx11已知平面向量 a，b 的夹角为 60， ， ，则 ； =_. ,3abab-12在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称. 若角 的终边经过点 ，则 _. (3,4)tan()13已知函数 （ ） ，2,()xmfR（1）若 ，则函数 的零点是 ；1m()fx（2）若存在实数 ，使函数 有两个不同的零点，则 的取值范围是 .k()gfkm14对任意两个非零的平面向量 ，定义一种运算“ ”为： 若平面向m,nn=量 的夹角 ，且 和 的值均为集合 中的元素，则a,b(0,)4ab|,2ktN_. +=三、解答题：本大题共 4 小题，共 50 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题满分 12 分）函数 的定义域为 ，关于 的不等式 的lg(1)2xfAx22(3)0xaxa解集为 .B（）求集合 ；A（）若 ，试求实数 的取值范围.a416 （本小题满分 13 分）已知函数 ， 22()2sincosinfxxxR（）求 的最小正周期及单调递减区间；f（）求 在区间 上的最大值和最小值()fx0，17 （本小题满分 12 分）已知二次函数 的图象经过 四个点中的三个.()fx(1,4),0(1,)3,0ABCD（）求函数 的解析式，并求 的最小值；ffx（）求证：存在常数 ，使得当实数 满足 时，总有 .m12,12xm12()fx18 （本小题满分 13 分）函数 的定义域为 ，如果存在实数 ， 使得 对任意满()fxDab()()faxfb足 且 的 恒成立，则称 为广义奇函数 .aD()fx（）设函数 ，试判断 是否为广义奇函数，并说明理由；1()fx()f（）设函数 ，其中常数 ，证明 是广义奇函数，并写出()2xftt0()fx的值；20170172017201736（）若 是定义在 上的广义奇函数，且函数 的图象关于直线 （ 为()fxR()fxxm常数）对称，试判断 是否为周期函数？若是，求出 的一个周期，若不是，()fx()f请说明理由.5北京市朝阳区 20172018 学年度第一学期期末质量检测高一年级数学学科试题答案 2018.1一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）答案 A B C B C D B A 二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）答案，234，2，12470， ),1(,(2三、解答题：本大题共 4 小题，共 50 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15） （本小题满分 12 分）解：（）函数 的定义域满足： 则集合 4 分lg(1)2xf10,2x(1,2).A（）解不等式 22(3)0,xaxa可得 . 解得 ()0,3.B若 则 ,AB.6所以 1,32.a解得： 则 的取值范围是 .12 分a1,（16） （本小题满分 13 分）解：（） ()fxsin2cosx.i)4所以函数 的最小正周期为 . ()fx2=T令 3242kk 得 ， .3788x Z所以函数 的单调减区间为 ， 7 分()f 37,8kkZ（）因为 ，02x所以 344所以 当 ，即 时，2x8x函数 有最大值 ()f3()2f当 即 时，函数 有最小值 13 分2,4x0x()fx(0)1.f7（17） （本小题满分 12 分）（）解：因为 横坐标相同，所以函数图象不能同时经过 两点；(1,4),0AB ,AB因为 纵坐标相同，所以二次函数图象不能同时经过 三点，(,0),(3,)BCD,CD所以 的图象经过 三点.()fx,A设 （ ）.2fabc0a将 三点坐标代入，可以解得 .,ACD13,2bc所以 .2213()()fxx的最小值为 . 7 分f()f（）证明：因为 ，所以 .12xm21x，2221111133()()()()f xm又 ，2113fxx所以， 成立，当且仅当 即 .12()f 2,10m4所以存在实数 ，使得当实数 满足 时，总有 .12 分 4m12,x12x12()fx8（18） （本小题满分 13 分）解：（） 是广义奇函数. 理由如下：1()fx的定义域为 ，f |0x只需证明存在实数 ， 使得 对任意 恒成立.ab()()fafxbxa由 ，得 ，()()fxf12x即 .2()abx所以 对任意 恒成立,2xa即 ,0.ba从而存在 ，使 对任意 恒成立.,2()()faxfbxa所以 是广义奇函数. 3 分1()fx（）记 的定义域为 ，只需证明存在实数 ， 使得当 且 时，()fxDabaxDx恒成立，即 恒成立.()()fafb12axaxtt所以 ，2()()xaxxtt化简得， .2(1)axabtbt所以 , .因为 ，可得 ， ,0t2()0att1bt2log|at9即存在实数 ， 满足条件，从而 是广义奇函数.ab1()2xft由以上证明可知， 是广义奇函数，对 ，1()2xh212log|,ab有 ，即 ，故1()()2hx(0)()1)hx()x201720172017201736 22016()()()07176589()()()()()854.hhhhh 8 分（）因为 是定义在 上的广义奇函数，且函数 的图象关于直线 对称，()fxR()fxxm所以有 ， 恒成立.()()fafxb()()fmxf由 得 .()()fmxf(2)ff由 得 .()()fafxb()fxfaxb所以 恒成立. 把 用 代换得(2)(2)fmfa2max，()(2)fxfmaxb即 (2)(4).fafab由得： (2(4(2).fmxfxfamx当 时， 为周期函数， 是函数 的一个周期.a()f ()f当 时，由得 ，从而 对 恒成立.m(2)bfax()2bfxR函数 为常函数，也为周期函数，()fx10任何非零实数均为函数 的周期. 13 分()fx
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