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小专题(四)利用二元一次方程组解决几类常见的实际问题列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:审题:找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系;设元:找出题中的两个关键的未知量,并用字母表示出来;列方程组:挖掘题目中的关系,找出两个等量关系,列出方程组;求解;检验作答:检验所求解是否符合实际意义,并作答.列方程组时应注意:方程两边表示的是同类量;两类量的单位要统一;方程两边的数值要相等;一般地,设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组.类型1解决图形问题1.如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面,其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高10 cm,2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低40 cm,则每块墙砖的面积是(B)A.425 cm2B.525 cm2C.600 cm2D.800 cm22.如图,在长方形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,请你利用方程组的思想方法求出图中阴影部分面积是多少?解:设小长方形的长为x cm,宽为y cm,根据题意,得x+y-2y=6,x+3y=14,解得x=8,y=2.S阴影=14(6+22)-826=44(cm2).类型2解决和、差、倍、分问题3. 小强同学生日的月数减去日数为2,月数的两倍和日数相加为31,则小强同学生日的月数和日数的和为20.4.某快递公司有甲、乙两个仓库,各存有快件若干件,甲仓库发走80件后余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件;乙仓库发走560件后剩余的快件数比甲仓库余下的快件数的15还多210件,求甲、乙两个仓库原有快件各多少件?解:设甲、乙两个仓库原有快件分别为x件和y件.由题意得x-80=2y-700,y-560=15(x-80)+210,解得x=1480,y=1050.答:甲、乙两个仓库原有快件分别为1480件、1050件.类型3解决行程问题5. 爸爸沿街匀速行走,发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车,每隔5分钟从迎面驶来一辆103路公交车,假设每辆103路公交车行驶速度相同,而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的6倍.6.从A地到B地全程290 km,前一路段为国道,其余路段为高速公路.已知汽车在国道上行驶的速度为60 km/h,在高速公路上行驶的速度为100 km/h,一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5 h.求A,B两地间国道和高速公路各多少千米?解:设A,B两地间国道和高速公路分别是x km,y km.依题意得x+y=290,x60+y100=3.5,解得x=90,y=200.答:A,B两地间国道是90 km,高速公路是200 km.类型4解决工程问题7.孙子算经中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?设有x匹大马,y匹小马,根据题意可列方程组为x+y=1003x+y3=100.8.某城市为了缓解缺水状况,实施了一项引水工程,就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来,这项工程交给了甲、乙两个施工队.经计算,两队合作工期为50天.甲、乙两队合作了30天后,乙队因另外有任务需要离开10天,于是甲队加快速度,每天多修0.6千米.10天后乙队返回,为了保证工期,甲队保持速度不变,乙队每天比原来多修0.4千米,最后恰好如期完成.问:甲、乙两队原计划每天各修多少千米?解:设甲队原计划每天修x千米,乙队原计划每天修y千米,根据题意,得x+y=20050,30(x+y)+20(x+0.6)+10(y+0.4)=200,解得x=2.4,y=1.6.答:甲队原计划每天修2.4千米,乙队原计划每天修1.6千米.类型5解决配套问题9. 某旅店一共有70个房间,大房间每间住8个人,小房间每间住6个人,一共480个学生刚好住满,设大房间有x个,小房间有y个.下列方程正确的是(A)A.x+y=708x+6y=480B.x+y=706x+8y=480C.x+y=4806x+8y=70D.x+y=4808x+6y=7010.一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成.如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条,现有5立方米木料,那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好能配成方桌?能配成多少张方桌?解:设桌面用木料x立方米,桌腿用木料y立方米,根据题意,得x+y=5,50x4=300y,解得x=3,y=2.50x=503=150.答:用3立方米木料做桌面,用2立方米木料做桌腿,能配成方桌150张.类型6解决增长率问题11.某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,则去年的总产值为2000万元,总支出是1800万元.12.某学校现有学生2300人,与去年相比,男生人数增加了25%,女生人数减少了25%,全校人数增加了15%,则现在全校有男生2000人.类型7解决利润问题13.(重庆中考)为实现营养的合理搭配,某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中,甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮,1千克B粗粮,1千克C粗粮;乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮,2千克B粗粮,2千克C粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A,B,C三种粗粮的成本价之和.已知A粗粮每千克成本价为6元,甲种粗粮每袋售价为58.5元,利润率为30%,乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%,则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是89.(商品的利润率=商品的售价-商品的成本价商品的成本价100%)14.五一节前夕,某超市购进甲、乙两种玩具后,按进价提高50%标价(就是价格牌上标出的价格),两种玩具标价之和为450元.后来该超市搞促销,将甲、乙两种玩具分别按标价的8折和8.5折出售,某顾客购买甲、乙两种玩具共付款375元,问这两种玩具的进价各是多少元?解:设甲玩具的进价为x元,乙玩具的进价为y元,则(x+y)(1+50%)=450,x(1+50%)0.8+y(1+50%)0.85=375,解得x=100,y=200.答:甲玩具的进价为100元,乙玩具的进价为200元.类型8解决数字问题15.一个两位数的十位上的数字是个位上的数字的2倍,若交换十位与个位上的数字,则所得的新两位数与原数的和为99,则这个两位数是63.16.有甲、乙两个两位数,若把甲数放在乙数的左边,组成的四位数是乙数的201倍;若把乙数放在甲数的左边,组成的四位数比上面的四位数小1188,求甲、乙这两个数.解:设甲数为x,乙数为y,根据题意,得100x+y=201y,100y+x=100x+y-1188,解得x=24,y=12.答:甲数是24,乙数是12.类型9解决古代数学问题17. 我国古代数学著作九章算术中有这样一题,原文是:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何.”意思是:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛,是古代的一种容量单位),1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?请解答.解:设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛,则5x+y=3,x+5y=2,解得x=1324,y=724.答:1个大桶可以盛酒1324斛,1个小桶可以盛酒724斛.类型10解决图表信息问题18.利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图1方式放置,再交换两木块的位置,按图2方式放置.测量的数据如图,则桌子的高度是(B)A.84 cmB.85 cmC.86 cmD.87 cm19. 在永州市青少年禁毒教育活动中,某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观,以下是小明和妈妈的对话,请根据对话内容,求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.解:设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人,女生人数为y人,依题意得x+y=55,x=1.5y+5,解得x=35,y=20.答:小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人,女生人数为20人.
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