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提分专练(五)以三角形为背景的中档计算题与证明题|类型1|与特殊三角形相关的计算、证明题1.如图T5-1,在ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF交CD于点M,连接AM.(1)求证:EF=12AC;(2)若BAC=45,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.图T5-12.xx连云港 如图T5-2,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(1)判断ABE与ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图T5-2|类型2|与全等三角形相关的计算、证明题3.如图T5-3,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AEBC,CEAE,垂足为E.(1)求证:ABDCAE.(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.图T5-34.xx宁波 如图T5-4,在ABC中,ACB=90,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.(1)求证:ACDBCE;(2)当AD=BF时,求BEF的度数.图T5-4|类型3|与相似三角形相关的计算、证明题5.如图T5-5,在ABC中,ADBC,BEAC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.(1)求证:ACDBFD;(2)当tanABD=1,AC=3时,求BF的长.图T5-56.xx东营 (1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图T5-6,在ABC中,点O在线段BC上,BAO=30,OAC=75,AO=33,BOCO=13,求AB的长.经过社团成员讨论发现,过点B作BDAC,交AO的延长线于点D,通过构造ABD就可以解决问题(如图).请回答:ADB=,AB=.(2)请参考以上解题思路,解决下列问题:如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ACAD,AO=33,ABC=ACB=75,BOOD=13,求DC的长.图T5-6参考答案1.解:(1)证明:连接CE.CD=CB,点E为BD的中点,CEBD.点F为AC的中点,EF=12AC.(2)BAC=45,CEBD,AEC是等腰直角三角形.点F为AC的中点,EF垂直平分AC,AM=CM.CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,BC=AM+DM.2.解:(1)ABE=ACD.理由如下:因为AB=AC,BAE=CAD,AE=AD,所以ABEACD,所以ABE=ACD.(2)证明:因为AB=AC,所以ABC=ACB.由(1)可知ABE=ACD,所以FBC=FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.3.解:(1)证明:AB=AC,B=ACD.AEBC,EAC=ACD,B=EAC.AD是BC边上的中线,ADBC.CEAE,ADB=AEC=90.在ABD和CAE中,B=EAC,ADB=AEC,AB=CA,ABDCAE(AAS).(2)AB平行且等于DE.证明:由(1)知ABDCAE,AE=BD.又AEBD,四边形ABDE为平行四边形,AB平行且等于DE.4.解:(1)证明:线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,DCE=90,CD=CE.又ACB=90,ACB=DCE,ACD=BCE.在ACD和BCE中,CD=CE,ACD=BCE,AC=BC,ACDBCE.(2)ACB=90,AC=BC,A=45,ACDBCE,AD=BE,CBE=A=45.又AD=BF,BE=BF,BEF=BFE=180-452=67.5.5.解:(1)证明:ADBC,BEAC,BDF=ADC=BEC=90,C+DBF=90,C+DAC=90,DBF=DAC,ACDBFD.(2)ADB=90,tanABD=1,tanABD=ADBD=1,AD=BD.ACDBFD,ACBF=ADBD=1,BF=AC=3.6.解析 (1)利用两直线平行,内错角相等,可得ADB=OAC=75和AOC与DOB相似,于是得DO=3,再利用三角形内角和定理可求得ABD=75,所以AB=AD=43.(2)同理,可过B作AD的平行线,利用相似可求得DC的长.解:(1)BDAC,ADB=OAC=75.又DOB=AOC,DOBAOC,DOAO=BOCO=13.AO=33,DO=3,AD=AO+DO=33+3=43.在ABD中,BAO=30,ADB=75,ABD=180-BAO-ADB=180-30-75=75,ABD=ADB,AB=AD=43.(2)过点B作BEAD交AC于点E.ACAD,DAC=BEA=90.又AOD=EOB,AODEOB,BODO=EOAO=BEDA.BOOD=13,EOAO=BEDA=13.AO=33,EO=3,AE=43.ABC=ACB=75,BAC=30,AB=AC,AB=2BE.在RtAEB中,AE2+BE2=AB2,即(43)2+BE2=(2BE)2,得BE=4,AB=AC=8,AD=12.在RtCAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,得CD=413.
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