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小专题(二)垂径定理的有关计算由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的一个,它将线段、角与圆弧连接起来,解题的常用方法是构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来.类型1求半径长1.如图,CD为圆O的直径,弦ABCD,垂足为M,若AB=12,OMMD=58,则圆O的周长为(B)A.26B. 13C.965D.391052.(乐山中考)九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸),问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的直径AC是(C)A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸类型2求弦长3.如图,O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交O于B,C点,则BC=(A)A.63B.62C.33D.324.如图,O的半径为5,AB为弦,C为AB的中点,若ABC=30,求弦AB的长.解:连接OA,OC,OC 交AB于点M.根据垂径定理可知OC垂直平分AB,因为ABC=30,所以AOC=60,在RtAOM中,sin 60=AMOA=AM5=32,故AM=532,即AB=53.5.如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E;(保留作图痕迹,不写作法)(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.解:(1)尺规作图如图所示.(2)连接OE交BC于点M,连接OC,CE.因为BAE=CAE,所以BE=EC,所以OEBC,所以EM=3.在RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.在RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30.所以弦CE的长为30.类型3求弦心距6.如图,在半径为5 cm的O中,弦AB=6 cm,OCAB于点C,则OC=(B)A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm7.(衢州中考)如图,AC是O的直径,弦BDAO于点E,连接BC,过点O作OFBC于点F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是(D)A.3 cmB.6 cmC.2.5 cmD.5 cm8.如图,D是O的弦BC的中点,A是BC上一点,OA与BC交于点E,已知OA=8,BC=12.(1)求线段OD的长;(2)当EO=2BE时,求ODE的面积.解:(1)连接OB.OD过圆心,且D是弦BC的中点,ODBC,BD=12BC=6.在RtBOD中,OD2+BD2=OB2,OB=OA=8,BD=6,OD=OB2-BD2=82-62=27.(2)在RtEOD中,OD2+DE2=OE2,设BE=x,则OE=2x,DE=6-x,(27)2+(6-x)2=(2x)2,解得x1=-16(不合题意,舍去),x2=4,DE=2.SODE=12DEOD=12227=27.类型4平行弦之间的距离9.已知AB,CD是O的两条平行弦,AB=8,CD=6,O的半径为5,则弦AB与CD的距离为 (D)A.1B.7C.4或3D.7或1提示:分两条平行弦在圆心O的同侧和异侧两种情况进行讨论,可得所求距离为7或1.类型5弓形计算10.如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为(C)A.10 cmB.16 cmC.24 cmD.26 cm类型6实际应用11.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=100 cm,水面宽AB=120 cm,某天下雨后,水管水面上升了20 cm,则此时排水管水面宽CD等于1.6m.12.如图,是一个高速公路的隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=12米,拱高CD=9米,求圆的半径.解:CDAB且过圆心O,AD=12AB=1212=6米,连接OA,设半径为r米,OA=OC=r米,OD=CD-OC=(9-r)米,在RtAOD中,OA2=OD2+AD2,r2=(9-r)2+62,解得r=6.5.O的半径为6.5米.
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