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提分专练(四)二次函数小综合|类型1|二次函数与其他函数的综合1.如图T4-1,在平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx(a0),一次函数y=ax+b(a0)以及反比例函数y=kx(k0)的图象都经过点A,其中一次函数的图象与反比例函数的图象还交于另一点B,且一次函数的图象与x轴,y轴分别交于点C,D.若点A的横坐标为1,该二次函数图象的对称轴是直线x=2,有下列结论:b=-4a;a+bk;8a+4bk;a+2b4k.其中正确结论的个数是()图T4-1A.1B.2C.3D.42.如图T4-2,曲线BC是反比例函数y=kx(4x6)图象的一部分,其中B(4,1-m),C(6,-m),抛物线y=-x2+2bx的顶点记作A.(1)求k的值.(2)判断点A是否可与点B重合.(3)若抛物线与曲线BC有交点,求b的取值范围.图T4-2|类型2|二次函数与几何图形综合3.xx岳阳 已知抛物线F:y=x2+bx+c经过坐标原点O,且与x轴另一交点为-33,0.(1)求抛物线F的表达式.(2)如图T4-3,直线l:y=33x+m(m0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限),求y2-y1的值(用含m的式子表示).(3)在(2)中,若m=43,设点A是点A关于原点O的对称点,如图T4-3.判断AAB的形状,并说明理由.平面内是否存在点P,使得以点A,B,A,P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图T4-34.xx益阳 如图T4-4,已知抛物线y=12x2-32x-n(n0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图,若ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;(3)如图,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AEED=14,求n的值.图T4-45.xx张家界 如图T4-5,已知二次函数y=ax2+1(a0,a为实数)的图象过点A(-2,2),一次函数y=kx+b(k0,k,b为实数)的图象l经过点B(0,2).(1)求a的值并写出二次函数的表达式;(2)求b的值;(3)设直线l与二次函数的图象交于M,N两点,过点M作MC垂直x轴于点C,试证明:MB=MC;(4)在(3)的条件下,请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系,并说明理由.图T4-5参考答案1.B解析 对称轴为直线x=-b2a=2,b=-4a,故结论正确;一次函数与反比例函数的图象都经过点A,x=1时,a+b=k,故结论错误;由图象可知,4a+2bk2,8a+4bk,故结论正确;a+2b=-b4+2b=74b,4k=4(a+b)=4-b4+b=3b,二次函数图象开口向下,a0,74b3b,a+2b0),可得OC=n,OAOB=2n,n2=2n,解得n1=2,n2=0(舍去),n=2.(2)由(1)可知抛物线的表达式为y=12x2-32x-2,抛物线的对称轴为直线x=32.令y=0,得x1=-1,x2=4,A(-1,0),B(4,0).设点Pm,12m2-32m-2,当直线PQBC,点P在点Q的左侧(如图所示),BOC平移到QNP的位置时,四边形PQBC为平行四边形,此时NQ=OB,即32-m=4,则m=-52,则12m2-32m-2=398,此时点P的坐标为-52,398;当点P在点Q的右侧时(如图所示),同理可得m-32=4,即m=112,则12m2-32m-2=398,此时点P的坐标为112,398.综上所述,满足条件的点P的坐标为-52,398,112,398.(3)过点D作DFx轴,垂足为F.如图,则AOOF=AEED=14.设A(a,0),B(b,0),则AO=-a,OF=-4a.ADBC,OBC=DAO.BOC=AFD=90,BOCAFD,OCDF=BOAF,即nDF=b-4a-a,nDF=b-5a.由题意得ab=-2n,nb=-a2,DF=-5anb=-5a-a2=52a2.点A,D在抛物线上,12a2-32a-n=0,1216a2-32(-4a)-n=52a2,解得a=-32,n=278,n的值为278.5.解析 (1)将点A的坐标代入二次函数的表达式,即可求出a的值,进而得到二次函数的表达式.(2)将点B的坐标代入一次函数的表达式,即可求出b的值.(3)过点M作MEy轴于点E,设Mx,14x2+1,进而用含x的式子分别表示MB和MC.(4)过点N作NDx轴于点D,取MN的中点为P,过点P作PFx轴于点F,过点N作NHMC于点H,交PF于点G.根据(3)知NB=ND,通过等量代换,得出PF=12MN.解:(1)根据题意,得2=a(-2)2+1,解得a=14,y=14x2+1.(2)根据题意,得2=k0+b,解得b=2.(3)证明:如图,过点M作MEy轴于点E.设Mx,14x2+1,则MC=14x2+1,ME=|x|,EB=14x2+1-2=14x2-1.MB=ME2+EB2=x2+(14x2-1)2=x2+116x4-12x2+1=116x4+12x2+1=14x2+1,MB=MC.(4)相切.理由如下:如图,过点N作NDx轴于D,取MN的中点为P,过点P作PFx轴于点F,过点N作NHMC于点H,交PF于点G.由(3)知NB=ND,MN=NB+MB=ND+MC.PG=12MH,ND=GF=HC,PF=PG+GF,2PF=2PG+2GF=MH+ND+HC=ND+MC,PF=12MN,以线段MN为直径的圆与x轴相切.
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