选修《不等式选讲》全册教案.doc

选修不等式选讲全册教案第 42 页 共 42 页教学目标：1 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。2 掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。教学难点：灵活应用不等式的基本性质。教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。列子汤问中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(ab0)，若再加m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖 后的糖水浓度为，只要证即可。怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：、如果ab，那么ba，如果bb。(对称性)、如果ab，且bc，那么ac，即ab，bcac。、如果ab，那么a+cb+c，即aba+cb+c。推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d即ab， cd a+cb+d、如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acb 0，那么 (nN，且n1)、如果ab 0，那么 (nN，且n1)。三、典型例题：例1、比较和的大小。分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。例2、已知，求证：例3、已知ab0，cd0，求证：。四、课堂练习：1：已知，比较与的大小。2：已知ab0，cd0,求证：。五、课后作业：课本第1、2、3、4题六、教学后记：课题：第02课时 基本不等式教学目标：1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证明及应用。教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程： 一、知识学习：定理1：如果a、bR，那么a 2b 2 2ab（当且仅当ab时取“”号）证明：a 2b 22ab（ab）2 当ab时，（ab）20，当ab时，（ab）20所以，（ab）20 即a 2b 2 2ab由上面的结论，我们又可得到定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么 （当且仅当ab时取“”号）证明：（）2（）22a b2 ，即 显然，当且仅当ab时，说明：1）我们称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a 2b 22ab和成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.3）“当且仅当”的含义是充要条件.4）几何意义.二、例题讲解：例1 已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P，那么当xy时，和xy有最小值2； （2）如果和xy是定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2证明：因为x，y都是正数，所以 （1）积xy为定值P时，有 xy2上式当xy时，取“”号，因此，当xy时，和xy有最小值2.（2）和xy为定值S时，有 xy S 2上式当x=y时取“”号，因此，当x=y时，积xy有最大值S 2.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：）函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；）等号成立条件必须存在。例2 ：已知a、b、c、d都是正数，求证：（abcd）（acbd）4abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由a、b、c、d都是正数，得0，0，abcd即（abcd）（acbd）4abcd例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得l240000720（x）2400007202240000720240297600当x，即x40时，l有最小值297600因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.三、课堂练习：课本P91练习1，2，3，4.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业课本P10习题1.1第5，6，7题六、教学后记：课题：第03课时 三个正数的算术-几何平均不等式教学目标：1能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；2了解基本不等式的推广形式。教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果，那么。当且仅当时，等号成立。推广： 。当且仅当时，等号成立。语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思考：类比基本不等式，是否存在：如果，那么（当且仅当时，等号成立）呢？试证明。二、例题分析：例1：求函数的最小值。解一： 解二：当即时上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 的最小值。由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值由例题，我们应该更牢记 一 _ 二 _ 三 _，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定_，和定_.三、巩固练习1.函数的最小值是 ( )A.6 B. C.9 D.122.函数的最小值是_3函数的最大值是（ ）A.0 B.1 C. D. 4.(xx浙江自选)已知正数满足，求的最小值。5（xx，江苏，21）设为正实数，求证：四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业P10习题1.1第11，12，13题六、教学后记：课题：第04课时 绝对值三角不等式教学目标：1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简单的应用。2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。教学过程：一、复习引入： 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。1请同学们回忆一下绝对值的意义。 几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。2证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1），当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立。（2）， （3）， （4）那么二、讲解新课：结论：（当且仅当时，等号成立.）已知是实数，试证明：（当且仅当时，等号成立.）方法一：证明:10 .当ab0时, 20. 当ab，对一切实数都成立，求实数的取值范围。四、课堂练习：解下列不等式：1、 2、 3、 . 4、 . 5、 6、 .7、 8、 9、 10、 五、课后作业：课本20第6、7、8、9题。六、教学后记：第二讲 证明不等式的基本方法课题：第01课时 不等式的证明方法之一：比较法教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学过程：一、新课学习：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：二、典型例题：例1、设都是正数，且，求证：。例2、若实数，求证：证明：采用差值比较法：讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设 故原不等式得证。例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，可得，从而，其中都是正数，且。于是，即。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？三、课堂练习：1比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）与；（2）与.2已知 求证：（1） （2）3若，求证四、课时小结：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。五、课后作业：课本23页第1、2、3、4题。六、教学后记：课题：第02课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法教学目标：1、 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。2、 了解分析法和综合法的思考过程。教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。二、典型例题：例1、已知，且不全相等。求证：分析：用综合法。例2、设，求证证法一 分析法要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立. 由此命题得证。证法二 综合法 注意到，即，由上式即得，从而成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3、已知a，b，m都是正数，并且求证： （1）证法一 要证（1），只需证 （2）要证（2），只需证 （3）要证（3），只需证 （4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因为 是正数，所以 两边同时加上得两边同时除以正数得（1）。例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。所以本题只需证明。证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明：。为了证明上式成立，只需证明。两边同乘以正数，得：。因此，只需证明。上式显然成立，所以 。这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例5、证明：。证法一： 因为 （2） （3） （4）所以三式相加得 （5）两边同时除以2即得（1）。 证法二：所以（1）成立。例6、证明： （1）证明 （1） （2）（3） （4） （5）（5）显然成立。因此（1）成立。例7、已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？分析：本题可以考虑利用因式分解公式 着手。证明： 由于都是正数，所以而，可知 即（等号在时成立）探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式： ，其中是互不相等的正数，且.三、课堂小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、课堂练习：1、已知求证：2、已知求证3、已知求证4、已知求证：（1）（2） 5、已知都是正数。求证：（1） （2）6、已知都是互不相等的正数，求证五、课后作业： 课本25页第1、2、3、4题。六、教学后记：课题：第03课时 不等式的证明方法之三：反证法教学目标：通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。教学难点：会用反证法证明简单的命题。教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例1、已知，求证：（且）例1、设，求证证明：假设，则有，从而 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。例2、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，则 （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例3、设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：设a 0, bc 0, 则b + c = -a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a 0 同理可证：b 0, c 0三、课堂练习：1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且，则 2、设0 a, b, c 0，且x + y 2，则和中至少有一个小于2。提示：反设2，2 x, y 0，可得x + y 2 与x + y 2矛盾。四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。五、课后作业：课本29页第1、4题。六、教学后记：课题：第04课时 不等式的证明方法之四：放缩法教学目标：1感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。2探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。教学重、难点：1掌握证明不等式的两种放缩技巧。2体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、典型例题：例1、若是自然数，求证证明：注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。例2、求证：证明：由（是大于2的自然数） 得例3、若a, b, c, dR+，求证：证：记m = a, b, c, dR+ 1 m 2 时，求证：证：n 2 n 2时, 三、课堂练习：1、设为大于1的自然数，求证2、设为自然数，求证四、课时小结：常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，（）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；（）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。五、课后作业：课本29页第2、3题。第三讲 柯西不等式与排序不等式课题：第1课时 二维形式的柯西不等式（一）教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：及几种变式.2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证 证法：（比较法）=.=二、讲授新课：1. 柯西不等式： 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则. 即二维形式的柯西不等式 什么时候取等号？ 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法） . （要点：展开配方） 证法三：（向量法）设向量，则，. ，且，则. . 证法四：（函数法）设，则0恒成立. 0，即. 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 变式： 或 或. 提出定理2：设是两个向量，则. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线） 练习：已知a、b、c、d为实数，求证. 证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式： 出示定理3：设，则.分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 三、应用举例：例1：已知a,b为实数，求证说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。例题2：求函数的最大值。分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（）解：函数的定义域为【1，5】，且y0当且仅当时，等号成立，即时，函数取最大值课堂练习：1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)(a2x+by2)22.求函数的最大值.例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。四、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值. 五、课堂小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）六、布置作业：P37页，4，5， 7，8，9七、教学后记：课题：第02课时二维形式的柯西不等式（二）教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习引入：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？ 答案：；2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数的最大值? 要点：利用变式.二、讲授新课：1. 最大（小）值： 出示例1：求函数的最大值？ 分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式 板演 变式： 推广： 练习：已知，求的最小值. 解答要点：（凑配法）. 讨论：其它方法 （数形结合法）2. 不等式的证明： 出示例2：若，求证：.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 构造） 要点： 讨论：其它证法（利用基本不等式） 练习：已知、，求证：.三、应用举例：例1已知a1,a2,an都是实数，求证：分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例2已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。分析：由形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：1. 练习：教材P37 8、9题 练习：1设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求的最小值。 2已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。 3已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求的最大值。选做：4已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模） 5已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求的最小值。（08东莞二模） 6已知x+y+z=，则m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08惠州调研)五、布置作业：教材P37 1、6、7题 已知，且，则的最小值. 要点：. 其它证法 若，且，求的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若，且，求的最大值.六、课堂小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.七、教学后记：课题：第03课时 一般形式的柯西不等式教学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。教学过程：一、复习引入：定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则： 二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|.| | .将空间向量的坐标代入，可得到这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？定理4：（一般形式的柯西不等式）：设为大于1的自然数，（1，2，）为任意实数，则：即，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。证明：构造二次函数： 即构造了一个二次函数：由于对任意实数，恒成立，则其，即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。如果（）全为0，结论显然成立。三、应用举例：例3 已知a1,a2,an都是实数，求证：分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例4已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。 分析：由形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：练习：1设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求的最小值。 2已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。 3已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求的最大值。选做：4已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模） 5已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求的最小值。（08东莞二模） 6已知x+y+z=，则m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08惠州调研)五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。六、布置作业：P41习题3.2 2，3，4，5七、教学后课题：第04课时 排序不等式教学目标：1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题; 2. 体会运用经典不等式的一般思想方法教学重点：应用排序不等式证明不等式教学难点：排序不等式的证明思路教学过程一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课：1. 教学排序不等式： 看书：P41P44. 如 如图， 设，自点沿边依次取个点， 边依次取取个点，在边取某个点与边 某个点连接，得到，这样一一搭配，一共可得到 个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的 不同，问：边上的点与边上的点如何搭配，才能使个三角形的面积和最大（或最小）？ 设，由已知条件，得 因为的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为 代数问题： 则 何时取最大（或最小）值？ 我们把叫做数组与的乱序和. 其中, 称为 序和. 称为 序和.这样的三个和大小关系如何? 设有两个有序实数组:;，是，的任一排列,则有+ (同序和)+ (乱序和)+ (反序和) 当且仅当=或=时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式）三、应用举例：例1：设是n个互不相同的正整数，求证： 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程： 设是的一个排列，且，则. 又，由排序不等式，得 小结：分析目标，构造有序排列.四、巩固练习：1. 练习：教材P45 1题2.已知为正数，求证：. 解答要点：由对称性，假设，则，于是 ， 两式相加即得.五、课堂小结：排序不等式的基本形式.六、布置作业：教材P45 3、4题七、教学后记：第四讲 数学归纳法证明不等式课题：第01课时 数学归纳法（一）教学目标：1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。教学过程：一、创设情境，引出课题（1）不完全归纳法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）（2）完全归纳法：一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。）注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。结论：不完全归纳法结论不可靠；完全归纳法结论可靠。问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）情境一：（播放多米诺骨牌视频）问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？二、讲授新课：探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明有些启发？ 得出结论：证明的两个步骤：（1）证明当时，命题成立；（2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立。一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时，命题也成立。只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从开始的所有正整数都成立。上述方法叫做数学归纳法。三、应用举例：例1用数学归纳法证明：证明：（1）当时，左边，右边，等式成立；（2）假设当（k1,kN*）时，那么：，则当时也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何都成立。注：对例1，首先说明在利用数学归纳法证题时，当时的证明必须利用的归纳假设， 例2：用数学归纳法证明求证：能被6 整除.证明：. 当时，13+51=6能被6整除，命题正确；. 假设时命题正确，即能被6整除，当时，两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，能被6整除，即当时命题也正确，由知命题时都正确.即：当时，等式成立。根据（1）和（2），可知等式对任何都成立。注：上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。四、巩固练习：P50练习题 第1、2题五、课堂小结：问：今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？（学生总结，教师整理）1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现。2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想：递推思想；3、数学归纳法一般步骤：验证时命题成立若时命题成立，证明当时命题也成立归纳奠基 归纳递推命题对从开始所有的正整数都成立4、应用数学归纳法要注意以下几点：（1） 第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；（2） 第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法；（3） n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其它一些正整数；（4） 第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法。六、布置作业：P50练习题 第1、2、3题 七、教学后记：课题：第02课时 数学归纳法（二）教学目标：掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程.对数学归纳法的认识不断深化.掌握数学归纳法的应用：教学重点：解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤教学难点：数学归纳法证题有效性的理解教学过程：一、复习回顾：数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（kn0， kN*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 练习：1已知，猜想的表达式，并给出证明？ 过程：试值， 猜想 用数学归纳法证明.2. 练习：是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立，试证明你的结论.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法的应用：例1：求证分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？关键：在假设n=k的式子上，如何同补？证明：（略）小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2：求证：n为奇数时，xn+yn能被x+y整除.分析要点：（凑配）xk+2+yk+2=x2xk+y2yk=x2(xk+yk)+y2ykx2yk=x2(xk+yk)+yk(y2x2)=x2(xk+yk)+yk(y+x)(yx).证明：（略）例3：平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2n+2个部分.分析要点：n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2k+2+2k=(k+1)2(k+1)+2.证明：（略）三、巩固练习：（1） 求证: （nN*）.（2） 用数学归纳法证明： （）能被264整除； （）能被整除（其中n，a为正整数）（3） 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.（4）教材50 1、2、5题 四、课堂小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.五、布置作业：教材50 4、5、6题.六、教学后记：课题：第03课时用数学归纳法证明不等式（一）教学目标：1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，2、理解数学归纳法的操作步骤，3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 求证：.2. 求证：.二、讲授新课：1、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法设要证命题为P（n）（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（kN且kn0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。三、应用举例：例1：比较与的大小，试证明你的结论. 分析：试值 猜想结论 用数学归纳法证明 要点：. 证明：（略）小结反思：试值猜想证明巩固练习1：已知数列的各项为正数，Sn为前n项和，且，归纳出an的公式并证明你的结论. 解题要点提示：试值n=1,2,3,4， 猜想an 数学归纳法证明例2：证明不等式. 要点：证明：（略）例3：证明贝努利不等式. 分析：贝努力不等式中涉及到两个字母， 表示大于-1且不等于0的任意实数，是大于1的自然数，用数学归纳法只能对进行归纳巩固练习2：试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n1,nN*且a、b、c互不相等时，均有an+cn2bn.解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=, c=bq (q0且q1). an+cn=.当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证()n (n2且nN*). 当n=k+1时，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)()k()=()k+1 .3. 小结反思：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技