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拉普拉斯反变换:部分分式展开法,小组成员：,杨朦朦、王曼、薛久明、刘影,一、部分分式展开法,象函数通常可表示为两个实系数的s的多项式之比，即s的一个有理分式,式中m和n为正整数，且nm。,分解定理,把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有理分式化为真分式。若n=m，则,若nm，则为真分式。真分式用部分分式展开，需要对分母多项式作因式分解，求出D(s)=0的根。D(s)=0的根可以是单根共轭复根重根三种情况。,二、D(s)=0具有单根的情况,如果D(s)=0有n个单根，设n个单根分别是p1、p2、pn。于是F(s)可以展开为,将上式两边都乘以(s-p1)，得,令s=p1，得,K1=(s-p1)F(s)s=p1,确定待定系数的公式为,Ki=(s-pi)F(s)s=pi,同理可求得K2、K3、Kn,例：求F(s)的原函数,解：,D(s)=0的根为,p1=0,p2=-2,p3=-5,=0.1,=0.5,=-0.6,K1=0.1,K3=-0.6,K2=0.5,综上可知：,-0.6e-5t,f(t)=,0.1,+0.5e-2t,三、D(s)=0的具有共轭复根的情况,p1=a+j,p2=a-j,K1=(s-a-j)F(s)s=a+j,K2=(s-a+j)F(s)s=a-j,例：求F(s)的原函数,解：,D(s)=0的根为,p1=-1+j2,p2=-1-j2,=0.5-j0.5,先变形s2+2s+5=0s2+2s+1+4=0(s+1)2+4=0,p1=-1+j2,p2=-1-j2,=0.5-j0.5,欧拉公式,四、D(s)=0具有重根的情况,D(s)应含(s-p1)n的因式,现设D(s)中含有(s-p1)3的因式，p1为D(s)=0的三重根，其余为单根，F(s)可分解为,K11=(s-p1)3F(s)|s=p1,上式两边都乘以(s-p1)3，则K11被单独分离出来,1、K11的求法,上式两边对s求导，则K12被分离出来,2、K12的求法,3、K13的求法,用同样的方法可得,f(t)=,4、D(s)=0具有q阶重根，其余为单根的分解式,式中,K11=,(s-p1)qF(s)|s=p1,例：求F(s)的原函数,解：,D(s)=0的根为,p1=-1为三重根,p2=0为二重根,首先以(s+1)3乘以F(s)得,K11=(s-p1)3F(s)|s=p1,=1,=3,=2,同理可求得,K21=1K22=-3,所以,Thankyou!,
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